Proporcionamos una calculadora online del lado, perímetro, área, altura, apotema, circunradio, inradio y exradio de un triángulo equilátero a partir de cualquiera de uno de ellos. También, definimos triángulo equilátero y calculamos las fórmulas de todos los elementos citados.
Índice:
La calculadora aproxima el resultado con \(n\) decimales.
Dato conocido: =
Decimales: \(n =\)
Lado | |
Altura | |
Apotema | |
Circunradio | |
Inradio | |
Exradio | |
Perímetro | |
Área |
Un triángulo equilátero es un triángulo cuyos lados tienen la misma longitud:
Los ángulos de un triángulo equilátero también tienen la misma medida:
El triángulo equilátero es un trígono regular (polígono regular de tres lados).
Tabla de las fórmulas y relaciones que veremos a continuación:
La altura del triángulo equilátero lo divide en dos triángulos rectángulos iguales, así que podemos calcularla aplicando el teorema de Pitágoras:
Operamos:
La apotema de un polígono es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Nota: las apotemas de un polígono regular miden lo mismo. También, observad que deben formar un ángulo recto con el lado (unen el punto medio del lado con el centro del polígono).
Para calcular la apotema, consideremos el triángulo rectángulo que tiene por catetos la apotema y la mitad de un lado:
Uno de los ángulos del triángulo es de \(90^\circ\). Otro de ellos es de \(30^\circ\) porque es la mitad de un ángulo interior del triángulo equilátero. El ángulo restante es de \(60^\circ\) porque la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera debe ser \(180^\circ\).
Por el teorema del seno,
Despejando,
De donde obtenemos, también, el lado en función de la apotema:
Recordad que la circunferencia circunscrita es la circunferencia que pasa por los vértices de un polígono:
El radio de esta circunferencia suele llamarse circunradio del polígono.
Observad que podemos calcular el circunradio a partir de la apotema aplicando Pitágoras:
Calculamos el circunradio:
Por tanto,
La circunferencia inscrita de un polígono es la circunferencia interior y tangente a todos los lados del polígono:
El radio de esta circunferencia suele llamarse inradio (\(r\)) y es fácil ver que coincide con la apotema del triángulo:
La circunferencia exinscrita de un polígono es la circunferencia exterior al polígono, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los dos lados adyacentes al anterior:
En el caso del triángulo equilátero, hay tres circunferencias exinscritas.
El radio de la circunferencia exinscrita (\(R_e\)) suele llamarse exradio.
Observad que los centros de las tres circunferencias forman un triángulo equilátero:
El lado de un triángulo de apotema \(a_p\) es
La apotema del triángulo verde (\(A_p\)) es el circunradio del triángulo azul:
Por tanto, el lado del triángulo verde es
Y, por tanto, su altura es
Observad en la figura que el exradio del triángulo azul es la altura del triángulo verde menos la altura del triángulo azul:
Relaciones entre los radios:
El perímetro de un triángulo equilátero de lado \(L\) es
O bien, sustituyendo las relaciones calculadas anteriormente,
El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.
Por tanto, el área de un triángulo equilátero de lado \(L\) es
O bien, sustituyendo las relaciones calculadas anteriormente,
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