Potencias
11 problemas resueltos
Primero calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación, después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:
Enlace: Ejercicios interactivos (operaciones con enteros)
Definición
La potencia \(a^n\) representa el producto que tiene \(n\) veces el número \(a\). El número \(a\) se llama base y el número \(n\) se llama exponente.
Ejemplo: las primeras potencias de 2 son
Problema 1
Calcular las potencias \(3^2\), \(5^3\), \(11^1\), \(7^0\), \(1^{22}\), \(6^2\) y \(0^{20}\).
Resolvemos:
La potencia \(3^2\) (tres al cuadrado) es el producto de dos treses:
La potencia \(5^3\) (cinco al cubo) es el producto de tres cincos:
La potencia \(11^1\) (once elevado a uno) es el producto de un once:
La potencia \(7^0\) (siete elevado a cero) es el producto de cero sietes:
La potencia \(1^{22}\) (uno elevado a veintidós) es el producto de veintidós unos:
La potencia \(6^2\) (seis al cuadrado) es el producto de dos seises:
La potencia \(0^{20}\) (cero elevado a veinte) es el producto de veinte ceros:
Por lo que hemos visto, podemos decir:
Dicho en palabras,
-
Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.
-
Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la base.
-
Si el exponente de una potencia es 0, el resultado es 1.
Problema 2
Calcular las siguientes potencias de números negativos: \((-1)^2\), \((-2)^3\), \((-5)^2\) y \((-1)^5\).
Ayuda: utilizar la regla de los signos (el producto de números con el mismo signo es un número positivo y el producto de números con signos distintos es un número negativo).
Resolvemos:
La potencia \((-1)^2\) es el producto de dos unos negativos:
La potencia \((-2)^3\) es el producto de tres doses negativos:
La potencia \((-5)^2\) es el producto de dos cincos negativos:
La potencia \((-1)^5\) es el producto de cinco unos negativos:
Observad que si la base de una potencia es negativa:
-
El resultado es positivo si el exponente es par.
-
El resultado es negativo si el exponente es impar.
Esto puede resumirse como:
Problema 3
Comprobar que \((-3)^3 = -(3^3)\) y que \((-5)^2 = 5^2\).
Resolvemos:
La potencia \((-3)^3\) es el producto de tres treses negativos:
La potencia \((-5)^2\) es el producto de dos cincos negativos:
Exponente negativo
La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:
La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo \(-n\) es el inverso del número elevado a \(n\):
Problema 4
Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:
Producto y cociente de potencias
El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:
El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:
Problema 5
Calcular los siguientes productos de potencias:
Problema 6
Calcular los siguientes cocientes de potencias:
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia con base \(a\) es la potencia con base \(a\) y cuyo exponente es el producto de los exponentes:
Problema 7
Calcula las siguientes potencias de potencias:
Potencia del producto y del cociente
La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:
La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:
Problema 8
Calcular las siguientes potencias de fracciones:
Resolvemos:
Calculamos la potencia \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\):
Calculamos la potencia \(\left(\frac{5}{3}\right)^2\):
Calculamos la potencia \(\left(\frac{3}{2}\right)^4\):
Potencia de una fracción con exponente negativo
El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa (intercambiar el numerador y el denominador):
La potencia de una fracción con exponente negativo \(-n\) es la potencia del inverso de la fracción con exponente \(n\):
Problema 9
Calcular las siguientes potencias cuyos exponentes son negativos:
Resolvemos:
Escribimos la potencia \((2\cdot 3)^{-3}\) como el producto de las potencias:
La potencia de una fracción con exponente negativo -3 es la potencia del inverso con exponente 3:
Repetimos los pasos:
Repetimos el proceso, pero ahora tenemos una base negativa:
Problema 10
Escribir los siguientes números como productos de potencias cuyas bases sean números primos: 56, 60 y 90.
Resolvemos:
Descomponemos el número 56:
Descomponemos el número 60:
Descomponemos el número 90:
Las propiedades de las potencias nos permiten simplificar operaciones.
Problema 11
Simplificar la siguiente operación entre potencias escribiendo las bases como productos de números primos:
Resolvemos:
Si tuviésemos que calcular la operación sin simplificarla, tenríamos que operar con números muy grandes. Vamos a aplicar las propiedades que hemos visto para simplificarla.
El primer paso es escribir las bases como productos. El número 6 puede escribirse como \(2\cdot 3\), el número 20 como \(2^2 \cdot 5\), el número 125 como \(5^3\), el número 25 como \(5^2\) y el número 12 como \(3\cdot 2^2\):
Ahora aplicamos la propiedad de la potencia de un producto:
Ahora calculamos los productos y cocientes de las potencias que tienen base común (los exponentes del numerador suman y los del denominador restan):
Más problemas similares: Calcular y simplificar potencias