Fracciones equivalentes y fracción irreductible
En esta página vamos a repasar el concepto de fracciones equivalentes, veremos cómo obtener fracciones equivalentes y cómo saber si dos fracciones son equivalentes. También, resolveremos unos cuantos problemas para reforzar estos conocimientos.
A lo largo del texto, responderemos a las siguientes cuestiones:
-
¿Qué son las fracciones equivalentes?
-
¿Cómo obtener fracciones equivalentes?
-
¿Por qué se obtienen fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número?
-
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
-
¿Para qué sirven las fracciones equivalentes?
-
¿Cuándo es irreductible una fracción?
-
¿Por qué una fracción es irreductible si el M.C.D. de su numerador y de su denominador es 1?
-
¿Cómo encontrar la fracción irreductible?
-
Dada una fracción, ¿a cuántas fracciones irreductibles es equivalente?
Enlace: Ejercicios interactivos de fracciones
1. ¿Qué son las fracciones equivalentes?
Dos fracciones son equivalentes cuando el resultado de las divisiones que representan (numerador dividido denominador) es el mismo.
Por ejemplo, las fracciones \(5/2\) (cinco medios) y \(10/4\) (diez cuartos) son equivalentes porque el resultado de dividir 5 entre 2 es el mismo que el de dividir 10 entre 4:
También, si representamos las fracciones como las partes iguales de un total, es fácil ver que representan la misma fracción del total:
Problema 1
Calcular las divisiones que representan a las cuatro siguientes fracciones para saber cuáles son equivalentes:
Solución:
Calculamos las divisiones 6 entre 10, 18 entre 30, 20 entre 25 y 3 entre 5:
Como las divisiones 6 entre 10, 18 entre 30 y 3 entre 5 tienen el mismo resultado, las siguientes fracciones son equivalentes:
La fracción \(20/25\) no es equivalente a ninguna de las anteriores.
Problema 2
Determinar si las fracciones \(14/16\) y \(21/24\) son equivalentes calculando dos divisiones.
Solución:
Calculamos las divisiones 14 entre 16 y 21 ente 24:
Como tienen el mismo resultado, las fracciones son equivalentes.
2. ¿Cómo obtener fracciones equivalentes?
Observando las fracciones equivalentes del ejemplo (cinco medios y diez cuartos), podemos deducir que las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número (distinto de 0):
También, podemos dividir en lugar de multiplicar:
Como existen infinitos números, dada una fracción existen infinitas fracciones equivalentes a ésta:
Problema 3
Multiplicando en la fracción \(7/5\) se ha encontrado una fracción equivalente. Determinar cuál de las dos fracciones es la equivalente a \(7/5\):
¿Por qué número se ha multiplicado?
Solución:
Si multiplicamos en la fracción \(7/5\) por 4 tenemos
Por tanto, la fracción \(28/20\) es equivalente a la fracción \(7/5\). Pero la fracción \(21/10\) no es equivalente porque deberíamos multiplicar por 3 en el numerador y por 2 en el denominador:
3. ¿Por qué se obtienen fracciones equivalentes multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número?
La respuesta es muy sencilla: multiplicar por el mismo número en el numerador y en el denominador es lo mismo que multiplicar la fracción por 1. Ya sabemos que al multiplicar por 1 un número (o una fracción) se obtiene el mismo resultado.
Veamos un ejemplo, pero recordemos que
-
podemos escribir 1 en lugar de \(2/2\) (y viceversa) porque \(2/2 = 1\)
-
y que el resultado de la multiplicación de dos fracciones se calcula multiplicando los numeradores y los denominadores.
Multiplicamos por 2 en el numerador y en el denominador de la fracción cinco medios:
4. ¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Hemos dicho anteriormente que si dos fracciones son equivalentes, entonces el resultado de la división numerador entre denominador es el mismo. Por tanto, una opción es calcular las divisiones. También, podemos pensar si existe un número que al multiplicarlo en el numerador y en el denominador de una de las fracciones proporcione la otra fracción.
Otra opción es escribir que las fracciones son iguales y operar en la igualdad para comprobar si realmente lo son:
Por ejemplo, para saber si \(25/10\) y \(615/246\) son equivalentes, las igualamos:
Podemos pasar cada denominador multiplicando al numerador del otro lado:
Calculamos los productos:
Como hemos obtenido una igualdad verdadera, las fracciones son iguales (equivalentes). Si la igualdad es falsa, no son equivalentes.
Otro ejemplo: comprobamos si las fracciones \(12/22\) y \(3/2\) son equivalentes:
Las fracciones no son equivalentes porque 24 no es igual a 66.
Problema 4
Determinar si algunas de las fracciones \(10/15\), \(16/29\) y \(18/27\) son equivalentes.
Solución:
Igualamos las fracciones \(10/15\) y \(16/29\):
Las fracciones \(10/15\) y \(16/29\) no son equivalentes.
Igualamos las fracciones \(10/15\) y \(18/27\):
Las fracciones \(10/15\) y \(18/27\) son equivalentes.
Igualamos las fracciones \(16/29\) y \(18/27\):
Las fracciones \(16/29\) y \(18/27\) no son equivalentes.
5. ¿Para qué sirven las fracciones equivalentes?
Si el resultado de un problema es una fracción, podríamos utilizar cualquier fracción equivalente a ella. Sin embargo, no es lo mismo trabajar con una fracción con números grandes (como 615/246) que con una fracción con números pequeños (como 5/2).
Por tanto, se conviene, por comodidad, escoger siempre la fracción que tiene los números más pequeños posibles. Esta fracción se denomina irreductible.
6. ¿Cuándo es irreductible una fracción?
Un fracción es irreductible cuando el máximo común divisor (M.C.D.) del numerador y del denominador es 1.
Por ejemplo, la fracción \(15/6\) no es irreductible porque el M.C.D. de 15 y de 6 es 3. En cambio, el M.C.D. del numerador y denominador de la fracción equivalente \(5/2\) es 1. Por tanto, la fracción irreductible de \(15/6\) es \(5/2\).
Cuando una fracción es irreductible, no existe ningún número que sea divisor común del numerador y del denominador y, por tanto, no hay fracciones equivalentes cuyos números sean más pequeños.
Problema 5
Determinar cuáles de las siguientes fracciones son irreductibles:
Solución:
La fracción \(12/24\) no es irreductible porque podemos dividir el numerador y el denominador entre 12, obteniendo una fracción irreductible:
La fracción \(1/2\) es irreductible porque el M.C.D. de 1 y 2 es 1.
La fracción \(3/4\) sí es irreductible porque el M.C.D. de 3 y 4 es 1.
La fracción \(6/9\) no es irreductible porque podemos dividir el numerador y el denominador entre 3, obteniendo la fracción irreductible \(2/3\).
La fracción \(2/42\) no es irreductible porque podemos dividir entre 2 obteniendo la irreductible \(1/21\).
La fracción \(2/11\) es irreductible porque el M.C.D. de 2 y 11 es 1.
7. ¿Por qué una fracción es irreductible si el M.C.D. de su numerador y de su denominador es 1?
Para calcular el M.C.D. de dos números, descomponemos los números y nos quedamos con los factores comunes al menor exponente.
Si el M.C.D. del numerador y del denominador es 1, significa que no hay factores comunes que puedan simplificarse:
Por ejemplo, consideremos la fracción \(15/16\). El M.C.D. de 15 y 6 es 3. Esto significa que si descomponemos los números 15 y 6 podremos cancelar los treses:
Hemos cancelado los factores comunes del numerador y del denominador (los treses).
8. ¿Cómo encontrar la fracción irreductible?
Existen múltiples métodos para encontrar la fracción irreductible, así que nosotros daremos dos de ellos:
-
Uno de ellos consiste en dividir sucesivamente el numerador y el denominador (por el mismo número) de modo que el resultado de las divisiones sea un número entero. Cuando no podamos seguir dividiendo, habremos encontrado la fracción irreductible.
-
El segundo método consiste en dividir directamente el numerador y el denominador entre su M.C.D.
Quizás, el primero de los métodos es más rápido ya que podemos dividir por números grandes, mientras que para calcular el M.C.D. tendremos que descomponer los números de la fracción dividiendo entre números primos.
Por ejemplo, simplificamos la fracción \(180/270\) para calcular la fracción equivalente irreductible:
-
Primer método: dividimos sucesivamente:
Ya no podemos seguir dividiendo porque el M.C.D. de 2 y 3 es 1. La fracción \(2/3\) es irreductible.
-
Segundo método: dividimos por el M.C.D.:
Las descomposiciones del numerador y del denominador son
El M.C.D. es el producto de los factores comunes al menor exponente:
Dividimos en la fracción entre 90:
La fracción \(2/3\) es irreductible.
Problema 6
Hallar las fracciones irreductibles equivalentes a las siguientes:
Solución:
Iremos alternando la forma de reducir las fracciones.
Para simplificar la fracción \(12/24\) dividimos entre 12:
Casualmente, hemos divido entre el M.C.D. de 12 y 24 (lo sabemos porque el resultado es una fracción irreductible).
Para reducir la fracción \(60/48\) calculamos el M.C.D. de 60 y 48. Las descomposiciones de los números son
Por tanto, el M.C.D. es
Dividimos en la fracción entre el M.C.D.:
Para simplificar la fracción \(16/18\) dividimos entre 2:
Para simplificar la fracción \(84/126\) dividimos ente 2, 3 y 7:
Para reducir la fracción \(726/1452\) calculamos el M.C.D. de 726 y 1452. La descomposición de los números es
Por tanto, el M.C.D. es
Calculamos la fracción irreductible:
9. Dada una fracción, ¿a cuántas fracciones irreductibles es equivalente?
Cada fracción sólo es equivalente a una única fracción irreductible. No explicamos el porqué ya que puede resultar complicado.
Problema 7
Determinar qué fracciones del enunciado del Problema 6 son equivalentes.
Ayuda: utilizar las fracciones irreductibles calculadas.
Solución:
Como cada fracción es equivalente a un única fracción irreductible, las fracciones que son equivalentes tienen la misma fracción irreductible.
Las fracciones del Problema 6 que tienen la misma fracción irreductible son
Son equivalentes a la irreductible \(1/2\).
Problema 8
¿La relación de equivalencia entre fracciones es transitiva? Es decir, si la fracción \(a\) es equivalente a la fracción \(b\) y la fracción \(b\) es equivalente a la fracción \(c\), entonces ¿son equivalentes las fracciones \(a\) y \(c\)?
Dar un ejemplo (si se cumple) o un contraejemplo (si no se cumple).
Solución:
Sí se cumple la transitividad. Veamos un ejemplo:
La fracción \(1/2\) es equivalente a la fracción \(3/6\):
La fracción \(3/6\) es equivalente a la fracción \(6/12\):
La fracción \(1/2\) y la fracción \(6/12\) son equivalentes:
Más problemas similares: Problemas de fracciones equivalentes.