Ecuaciones de segundo grado
En esta página resolvemos 15 problemas sobre ecuaciones de segundo grado. En la mayoría de los problemas se pide calcular las soluciones de las ecuaciones. Las últimas 4 ecuaciones tienen soluciones complejas.
Recordatorio
La forma general de una ecuación de segundo grado es:
Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas distintas según los valores de los coeficientes \(b\) y \(c\).
Se llama discriminante, \(\Delta\), a
El signo de \(\Delta\) nos permite conocer el tipo de soluciones de la ecuación:
-
Si \(\Delta > 0\), hay dos soluciones reales distintas.
-
Si \(\Delta = 0\), hay dos soluciones reales iguales.
-
Si \(\Delta < 0\), no hay soluciones reales (hay dos soluciones complejas distintas).
Caso 1
Si \(b\), \(c\neq 0\), se dice que la ecuación es completa y sus soluciones las proporciona la fórmula
En los siguientes casos, las ecuaciones se dice que son incompletas:
Caso 2
Si \(b = 0\), la ecuación es de la forma
Las soluciones son
Caso 3
Si \(c = 0\), la ecuación es de la forma
Las soluciones son
Caso 4
Si \(b = c = 0\), la ecuación es de la forma
La única solución es
Problemas resueltos
Problema 1
Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación
Solución
Calculamos el discriminante
Como los coeficientes son \(a = 3\), \(b=-5\) y \(c=1\), el discriminante es
El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
Problema 2
Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación
Solución
Calculamos el discriminante
Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=1\) y \(c=1\), el discriminante es
El discriminante es negativo, así que la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas distintas).
Problema 3
Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación
Solución
Calculamos el discriminante
Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=-4\) y \(c=4\), el discriminante es
El discriminante es negativo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
Problema 4
Resolver la ecuación de segundo grado incompleta
Solución
Es una ecuación incompleta. Factorizamos para calcular las soluciones:
La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: \( 0\) y \( -4\).
Problema 5
Encontrar las raíces de la función polinómica de segundo grado
Solución
Las raíces del polinomio \(f\) son los valores de \(x\) para los que \(f(x)\) es 0, es decir, son las soluciones de la ecuación
La ecuación es incompleta. La resolvemos:
Simplificamos:
La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: \( 3\sqrt{2}\) y \(-3\sqrt{2}\).
Problema 6
Resolver la ecuación de segundo grado completa
Solución
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 3\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:
Por tanto, las soluciones son -1 y -2.
Problema 7
Resolver la ecuación
Solución
Antes que nada, operamos en la ecuación para simplificarla:
Es una ecuación incompleta. Para resolverla, calculamos la raíz cuadrada:
Las soluciones son 1 y -1.
Problema 8
Resolver la ecuación completa
Solución
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -20\) y \(c=15\). Aplicamos la fórmula:
Las soluciones de la ecuación son \(3\) y \( 1 \).
Problema 9
Factorizar el polinomio
Deducir las raíces del polinomio a partir de la factorización.
Solución
Normalmente, para factorizar, igualamos a 0 el polinomio y buscamos las soluciones. Sin embargo, este polinomio es muy sencillo:
La factorización es \(Q(x) = 2x(x-3)\).
Las raíces de \(Q(x)\) son los valres de \(x\) para los que \(Q(x)=0\). Es decir, son las soluciones de la ecuación
$$ 2x(x-3) = 0 $$
Un producto de dos factores es 0 cuando alguno de los factores es 0. Por tanto, las raíces del polinomio son \(x=0\) y \(x = 3\).
Problema 10
Encontrar las raíces del polinomio
Solución
Para encontrar las raíces, igualamos el polinomio a 0:
Tenemos una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -15\) y \(c=-50\). Aplicamos la fórmula:
Las raíces del polinomio son \(-2\) y \( 5\).
Problema 11
Resolver la ecuación de segundo grado completa
Solución
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 2\), \(b = 5\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:
Las soluciones de la ecuación son \(-1/2\) y \(-2\).
Problema 12
Resolver la ecuación
Solución
Es una ecuación incompleta. Despejamos \(x\):
Las soluciones de la ecuación son complejas: \(x = i\) y \(x = -i\).
Problema 13
Resolver la ecuación
Solución
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 1\) y \(c=1\). Aplicamos la fórmula:
Problema 14
Resolver la ecuación
Solución
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:
Problema 15
Resolver la ecuación
Solución
Antes que nada, operamos en la ecuación para obtener su forma general:
Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 3\), \(b = -3\) y \(c=1\). Aplicamos la fórmula:
