Ecuaciones de segundo grado

$$ ax^2 + bx + c = 0$$

En esta página resolvemos 15 problemas sobre ecuaciones de segundo grado. En la mayoría de los problemas se pide calcular las soluciones de las ecuaciones. Las últimas 4 ecuaciones tienen soluciones complejas.

Forma general y discriminante

La forma general de una ecuación de segundo grado es:

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Es importante que el coeficiente \(a\) no sea 0, porque en tal caso, ya no sería una ecuación de segundo grado.

Se llama discriminante de la ecuación a

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El signo de \(\Delta\) nos permite conocer el tipo de soluciones de la ecuación:

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado:

Tipos de ecuaciones

Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas distintas según los valores de los coeficientes \(b\) y \(c\).

Caso 1

Si \(b\), \(c\neq 0\), se dice que la ecuación es completa y sus soluciones las proporciona la fórmula

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En los siguientes casos, las ecuaciones se dice que son incompletas:

Caso 2

Si \(b = 0\), la ecuación es de la forma

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Despejando \(x^2\) y tomando raíces, las soluciones son

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Caso 3

Si \(c = 0\), la ecuación es de la forma

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Para calcular las soluciones, extraemos el factor común \(x\):

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Como una multiplicación es 0 si alguno de sus factores es 0, las soluciones son

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Caso 4

Si \(b = c = 0\), la ecuación es de la forma

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La única solución es

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Las soluciones reales (o solución), si las hay, de la ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx + c = 0\) son las ordenadas (primera coordenada) de los puntos de corte de la función parábola \(y = ax^2 + bx + c \) con el eje X.

Problemas resueltos


Problema 1 dificultad: fácil

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación de segundo grado completa.

La fórmula del discriminante es

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Como los coeficientes son \(a = 3\), \(b=-5\) y \(c=1\), el discriminante es

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El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

No hemos calculado las soluciones porque no se pide en el problema, pero son

$$ x_1 = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$

$$ x_2 = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{13}}{6}$$

Gráfica de la función \(y = 3x^2 - 5x + 1\):

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Observad que, como hay dos soluciones reales, hay dos puntos de corte con el eje X.



Problema 2 dificultad: fácil

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa.

La fórmula del discriminante es

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Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=1\) y \(c=1\), el discriminante es

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El discriminante es negativo, así que la ecuación no tiene soluciones reales. Tiene dos soluciones complejas distintas:

$$ x_1 = -\frac{1}{2} - i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$ x_2 = -\frac{1}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Gráfica de la función \(y = x^2 + x + 1\):

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Observad que, como no hay soluciones reales, no hay puntos de corte con el eje X.



Problema 3 dificultad: fácil

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa.

La fórmula del discriminante es

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Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=-4\) y \(c=4\), el discriminante es

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El discriminante es nulo, así que la ecuación tiene una única solución real.

La solución es \(x = 2\).

Gráfica de la función \(y = x^2 -4x +4\):

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Como solo hay una solución real, sólo hay un punto de corte con el eje X y, además, coincide con el vértice de la parábola.



Problema 4 dificultad: fácil

Resolver la ecuación de segundo grado incompleta

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Resolvemos:

Es una ecuación incompleta porque \(c=0\). Extraemos el factor común \(x\) para calcular las soluciones:

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La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: \( x_1=0\) y \(x_2= -4\).

Observad que el discriminante es 0: \(\Delta = 4^2 -4\cdot 4\).

Gráfica de la función \(y = x^2 + 4x \):

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Observad que la primera coordenada de los puntos de corte con el eje X son las soluciones de la ecuación.



Problema 5 dificultad: fácil

Encontrar las raíces de la función polinómica de segundo grado

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Resolvemos:

Las raíces del polinomio \(f\) son los valores de \(x\) para los que \(f(x)\) es 0, es decir, son las soluciones de la ecuación

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La ecuación es incompleta y la podemos resolver rápidamente tomando raíces cuadradas:

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Simplificamos:

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La ecuación tiene dos soluciones reales distintas y son las raíces de la función polinómica: \( x_1= 3\sqrt{2}\) y \(x_2=-3\sqrt{2}\).

Gráfica de la función \(f(x) = x^2 -18 \):

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Problema 6 dificultad: fácil

Resolver la siguiente ecuación de segundo grado completa y escribirla en forma factorizada:

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 3\) y \(c=2\).

Aplicamos la fórmula para calcular las soluciones:

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Por tanto, las soluciones son \(x_1 =-1\) y \(x_2 = -2\).


Si \(x_1\) y \(x_2\) son las soluciones de la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\), entonces su forma factorizada es

$$ a\cdot (x-x_1)\cdot (x - x_2) = 0 $$


Si solo tiene una solución \(x_1\), entonces es

$$ a\cdot (x-x_1)^2 = 0 $$

Factorizamos la ecuación del problema:

$$ x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) = 0$$


Gráfica de la función \(y = x^2 +3x + 2\):

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Problema 7 dificultad: fácil

Resolver y factorizar la ecuación

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Resolvemos:

Tenemos una ecuación de segundo grado, pero no se encuentra en su forma general \(ax^2 + bx + c = 0\). Es fácil conseguir dicha forma operando un poco:

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La forma general es, pues, \(x^2 -1 =0\).

Es una ecuación incompleta. Para resolverla, calculamos la raíz cuadrada:

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Las soluciones son \(x_1 = 1\) y \(x_2=-1\).

Factorizamos la ecuación:

$$ x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$$

Gráfica de la función \(y = x^2 -1\):

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Problema 8 dificultad: fácil

Resolver la ecuación completa

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -20\) y \(c=15\).

Aplicamos la fórmula para calcular las soluciones:

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Las soluciones de la ecuación son \(x_1 = 3\) y \(x_2= 1 \).

Gráfica de la función \(y = 5x^2 - 20x + 15\):

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Problema 9 dificultad: fácil

Factorizar el polinomio

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Deducir las raíces del polinomio a partir de la factorización.

Resolvemos:

Normalmente, para factorizar, igualamos a 0 el polinomio y buscamos las soluciones. Sin embargo, este polinomio es muy sencillo de factorizar porque podemos extraer factor común de 2 y de \(x\):

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La factorización es \(Q(x) = 2x(x-3)\).

Las raíces de \(Q(x)\) son los valres de \(x\) para los que \(Q(x)=0\). Es decir, son las soluciones de la ecuación

$$ 2x(x-3) = 0 $$

Un producto de dos factores es 0 cuando alguno de los factores es 0. Por tanto, las raíces del polinomio son \(x=0\) y \(x = 3\).

Gráfica de la función \(Q(x) = 2x^2 - 6x \):

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Problema 10 dificultad: fácil

Encontrar las raíces del polinomio

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Resolvemos:

Para encontrar las raíces, igualamos el polinomio a 0:

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Tenemos una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -15\) y \(c=-50\).

Aplicamos la fórmula:

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Las raíces del polinomio son \(x_1 = -2\) y \(x_2=5\).

Gráfica de la función \(y = 5x^2 - 15x - 50\):

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Problema 11 dificultad: fácil

Resolver la ecuación de segundo grado completa

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 2\), \(b = 5\) y \(c=2\).

Aplicamos la fórmula:

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Las soluciones de la ecuación son \(x_1 = -1/2\) y \(x_2 = -2\).

Gráfica de la función \(y = 2x^2 + 5x + 2\):

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Problema 12 dificultad: difícil

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación incompleta y no tiene soluciones reales porque su discriminante es \(\Delta = -4 < 0\).

Despejamos \(x\) para calcular las soluciones tomando raíces y teniendo en cuenta que la unidad imaginaria es \( i = \sqrt{-1}\):

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Las soluciones de la ecuación son imaginarias: \(x_1 = i\) y \(x_2 = -i\).

Gráfica de la función \(y = x^2 + 1\):

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Al no tener soluciones reales, la parábola no corta el eje X.



Problema 13 dificultad: difícil

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 1\) y \(c=1\).

El discriminante de la ecuación es \(\Delta = -3 < 0\), así que no tiene soluciones reales.

Como la ecuación es completa, aplicamos la fórmula para calcular las soluciones complejas:

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Gráfica de la función \(y = x^2 + x + 1\):

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Problema 14 dificultad: difícil

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c=2\) y su discriminante es \(\Delta = 2^2 -4·2 = -4\), así que no tiene soluciones reales.

Aplicamos la fórmula para calcular las soluciones complejas:

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Las soluciones de la ecuación son \(1\pm i\).

Gráfica de la función \(y = x^2 - 2x + 2\):

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Problema 15 dificultad: difícil

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Antes que nada, operamos en la ecuación para obtener su forma general:

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Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 3\), \(b = -3\) y \(c=1\) y su discriminante es \(\Delta = -3\), por lo que no tiene soluciones reales.

Aplicamos la fórmula:

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Gráfica de la función \(y = 3x^2 - 3x + 1\):

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