Ecuaciones de segundo grado

En esta página resolvemos 15 problemas sobre ecuaciones de segundo grado. En la mayoría de los problemas se pide calcular las soluciones de las ecuaciones. Las últimas 4 ecuaciones tienen soluciones complejas.

Recordatorio

La forma general de una ecuación de segundo grado es:

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, con soluciones reales y complejas. Discriminante y fórmula cuadrática. Polinomios de segundo grado y raíces. ESO. Álgebra básica.

Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas distintas según los valores de los coeficientes \(b\) y \(c\).

Se llama discriminante, \(\Delta\), a

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El signo de \(\Delta\) nos permite conocer el tipo de soluciones de la ecuación:

Caso 1

Si \(b\), \(c\neq 0\), se dice que la ecuación es completa y sus soluciones las proporciona la fórmula

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En los siguientes casos, las ecuaciones se dice que son incompletas:

Caso 2

Si \(b = 0\), la ecuación es de la forma

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Las soluciones son

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Caso 3

Si \(c = 0\), la ecuación es de la forma

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Las soluciones son

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Caso 4

Si \(b = c = 0\), la ecuación es de la forma

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La única solución es

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Problemas resueltos


Problema 1

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Calculamos el discriminante

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Como los coeficientes son \(a = 3\), \(b=-5\) y \(c=1\), el discriminante es

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El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.


Problema 2

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Calculamos el discriminante

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Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=1\) y \(c=1\), el discriminante es

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El discriminante es negativo, así que la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas distintas).



Problema 3

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

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Resolvemos:

Calculamos el discriminante

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Como los coeficientes son \(a = 1\), \(b=-4\) y \(c=4\), el discriminante es

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El discriminante es negativo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.


Problema 4

Resolver la ecuación de segundo grado incompleta

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Resolvemos:

Es una ecuación incompleta. Factorizamos para calcular las soluciones:

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La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: \( 0\) y \( -4\).



Problema 5

Encontrar las raíces de la función polinómica de segundo grado

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Resolvemos:

Las raíces del polinomio \(f\) son los valores de \(x\) para los que \(f(x)\) es 0, es decir, son las soluciones de la ecuación

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La ecuación es incompleta. La resolvemos:

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Simplificamos:

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La ecuación tiene dos soluciones reales distintas: \( 3\sqrt{2}\) y \(-3\sqrt{2}\).



Problema 6

Resolver la ecuación de segundo grado completa

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 3\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:

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Por tanto, las soluciones son -1 y -2.


Problema 7

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Antes que nada, operamos en la ecuación para simplificarla:

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Es una ecuación incompleta. Para resolverla, calculamos la raíz cuadrada:

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Las soluciones son 1 y -1.



Problema 8

Resolver la ecuación completa

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -20\) y \(c=15\). Aplicamos la fórmula:

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Las soluciones de la ecuación son \(3\) y \( 1 \).


Problema 9

Factorizar el polinomio

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Deducir las raíces del polinomio a partir de la factorización.

Resolvemos:

Normalmente, para factorizar, igualamos a 0 el polinomio y buscamos las soluciones. Sin embargo, este polinomio es muy sencillo:

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La factorización es \(Q(x) = 2x(x-3)\).

Las raíces de \(Q(x)\) son los valres de \(x\) para los que \(Q(x)=0\). Es decir, son las soluciones de la ecuación

$$ 2x(x-3) = 0 $$

Un producto de dos factores es 0 cuando alguno de los factores es 0. Por tanto, las raíces del polinomio son \(x=0\) y \(x = 3\).



Problema 10

Encontrar las raíces del polinomio

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Resolvemos:

Para encontrar las raíces, igualamos el polinomio a 0:

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Tenemos una ecuación completa con coeficientes \(a = 5\), \(b = -15\) y \(c=-50\). Aplicamos la fórmula:

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Las raíces del polinomio son \(-2\) y \( 5\).



Problema 11

Resolver la ecuación de segundo grado completa

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 2\), \(b = 5\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:

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Las soluciones de la ecuación son \(-1/2\) y \(-2\).


Problema 12

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación incompleta. Despejamos \(x\):

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Las soluciones de la ecuación son complejas: \(x = i\) y \(x = -i\).



Problema 13

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = 1\) y \(c=1\). Aplicamos la fórmula:

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Problema 14

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c=2\). Aplicamos la fórmula:

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Problema 15

Resolver la ecuación

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Resolvemos:

Antes que nada, operamos en la ecuación para obtener su forma general:

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Es una ecuación completa con coeficientes \(a = 3\), \(b = -3\) y \(c=1\). Aplicamos la fórmula:

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