Introducción a las progresiones

En este texto damos el concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). Se incluyen ejemplos y problemas resueltos de los conceptos vistos.

Primeras definiciones

Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por $a_n$, siendo $n$ la posición del término en la secuencia.

Ejemplos:

La progresión de los números impares es una secuencia infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... El primer término es $a_1 = 1$ y el quinto término es $a_5 = 9$.
La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de cinco términos). El segundo término es $a_2=2$ y el cuarto es $a_4 = 4$.

Una progresión puede ser

Creciente: si cada término es mayor o igual que el término que ocupa una posición anterior ($a_{n+1}\geq a_n$).

Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,...
Decreciente: si cada término es menor que el término que ocupa una posición anterior ($a_{n+1}\leq a_n$).

Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,...
Constante: si todos los términos son iguales ($a_{n+1}= a_n$).

Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,...
Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior.

Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,...

Problema 1

Determinar si las siguientes progresiones son finitas o infinitas y si son crecientes, decrecientes, constantes o alternadas:

0, 2, 4, 6, 8, 10,...
3, 1, -1 y -3.
1, -5, 10, -15, 20, -25,...

Solución

Problema 2

Deducir los siguientes dos términos que siguen en las siguientes sucesiones infinitas. ¿Son crecientes o decrecientes?

10, 20, 30, 40,...
1, 2, 4, 8, 16, 32,...
320, -160, 80, -40, 20,...

Solución

Término general

El término general de una sucesión es la fórmula $a_n$ que permite conocer cada término en función de su posición $n$.

Ejemplos:

El término general de la progresión de los números impares (1, 3, 5, 7,...) es

$$a_n = 2\cdot n-1$$

Utilizamos el término general para calcular algunos sus términos sustituyendo la posición $n$:

$a_1 = 2\cdot 1 -1= 1$

$a_2 = 2\cdot 2 -1= 3 $

$a_3 = 2\cdot 3-1 = 5 $
El término general de la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36,... es

$$ a_n = n^2 $$

Problema 3

Calcular los cuatro primeros términos de las siguientes progresiones a partir de sus términos generales:

$a_n = 3n -1$
$a_n = (-1)^n \cdot n$
$a_{n+1} = a_{n}+a_{n-1}$ siendo $a_1 = 1$ y $a_2 = 1$.

Solución

Progresión aritmética

Una progresión es aritmética si cada término se obtiene sumando un número constante (diferencia) al término anterior.

Ejemplos:

100, 105, 110, 115, 120, ... es una sucesión aritmética cuya diferencia es $d = 5$.
-5, -3, -1, 1, 3 y 5 es una sucesión aritmética (finita) cuya diferencia es $d = 2$.
1, 4, 9, 16, 25, 36,... no es una sucesión aritmética porque, aunque el segundo término se obtiene sumando 3 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.

El término general de una progresión aritmética es

Concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). A lo largo del texto resolvemos problemas de los conceptos vistos. Secundaria, ESO.

Si la diferencia $d$ de la progresión es un número positivo, la progresión es creciente. Si $d$ es negativo, la progresión es decreciente.

Problema 4

Calcular los tres términos siguientes de las sucesiones sabiendo que son aritméticas con diferencia $d = 6$:

0, 6, 12,...
5, 11, 17,...

Solución

Problema 5

¿Cuál de las siguientes progresiones no es aritmética?

23, 24, 25, 26,...
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3,...
0, 4, 16, 64,...

Solución

Problema 6

Calcular las diferencias de las siguientes progresiones aritméticas:

11, 14, 17, 20,...
1, 1.5, 2, 2.5, 3,...
10, 5, 0, -5, -10, ...

¿Cuál es el quinto y el sexto término de estas sucesiones?

Solución

Problema 7

Calcular la fórmula general de las sucesiones del problema anterior.

Solución

Progresión geométrica

Una progresión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando un número constante (razón) por el término anterior.

Ejemplos:

1, 3, 9, 27, 81, … es una sucesión geométrica cuya razón es $r = 3$.
6, 12, 24, 48, 96,… es una sucesión geométrica cuya razón es $r = 2$.
5, 25, 50, 150,… no es una sucesión geométrica porque, aunque el segundo término se obtiene multiplicando por 5 al primero, no ocurre lo mismo con los siguientes.

El término general de una progresión geométrica es

Si el primer término de una progresión geométrica es positivo, entonces:

Si la razón $r$ de la progresión es un número positivo mayor que 1, la progresión es creciente.
Si $r = 1$, la progresión es constante.
Si $0< r< 1$, la progresión es decreciente.
Si $r$ es negativo, la progresión es alternada (el signo va cambiando).

Ejemplos:

La sucesión 1, 2, 4, 8, 16,… es creciente porque la razón es $r = 2> 1$.
La sucesión 2, 2, 2, 2,… es constante porque la razón es $r = 1$.
La sucesión 80, 40, 20, 10, 5, 2.5,… es decreciente porque la razón es $0< r = 0.5 < 1$.
La sucesión 1, -2, 4, -8, 16,… es alternada porque la razón es $r = -2< 0$.