Calculadora del área y volumen del casquete esférico
Proporcionamos 2 calculadoras del área y volumen del casquete esférico y demostramos las fórmulas del área y volumen del mismo.
Índice:
- Calculadoras del área y volumen
- Definición de casquete esférico
- Fórmulas del área
- Fórmulas del volumen
1. Calculadoras del área y volumen
Disponemos de 2 calculadoras para calcular el área y volumen de un casquete esférico:
- Área y volumen a partir del radio de la esfera (\(R\)) y la altura del casquete (\(h\))
- Área y volumen a partir del radio de la base (\(a\)) y la altura (\(h\)) del casquete
Las calculadoras aproximan el resultado con \(n\) decimales.
Calculadora a partir del lado:
Radio de la esfera: \(R =\)
Altura del casquete: \(h =\)
Decimales: \(n =\)
Calculadora a partir de la apotema:
Radio de la base del casquete: \(a =\)
Altura del casquete: \(h =\)
Decimales: \(n =\)
2. Definición de casquete esférico
Un casquete esférico es la figura geométrica obtenida al cortar una esfera con un plano:
El plano de corte debe ser perpendicular al segmento que une los polos de la esfera.
Si la altura del corte (\(h\)) es igual al radio de la esfera (\(R\)), entonces el casquete es un hemisferio.
Algunas relaciones
Veamos algunas relaciones que usaremos más adelante:
- \(R\) es el radio de la esfera
- \(a\) es el radio de la base del casquete esférico
- \(h\) es la altura del casquete esférico
Por Pitágoras,
Además,
3. Fórmulas del área
El área del casquete esférico de altura \(h\) y con base de radio \(a\) de la esfera de radio \(R\) es
O bien,
Nota: el área del casquete es un área lateral, sin incluir el área de su base, que es \(\pi a^2\).
Demostración:
Podemos construir el casquete esférico como superficie o sólido de revolución:
Al girar el arco de circunferencia (rojo), se obtiene el casquete esférico.
Consideremos la circunferencia de radio \(R\) centrada en el punto \((r,0)\):
Sea la función
consideremos la gráfica de \(f\) para \(x\in [0,h]\):
Si giramos dicha gráfica, obtenemos el casquete de radio \(R\) y altura \(h\).
Recordad que el área de la superficie de revolución que genera la gráfica de una función \(f\) en \(x\in [a,b]\) es
Usaremos esta fórmula para calcular el área del casquete.
La derivada de \(f\) es
El radicando de la integral es
Calculamos el área:
Por tanto, el área del casquete esférico de altura \(h\) de la esfera de radio \(R\) es
O bien, utilizando una de las relaciones que vimos anteriormente,
5. Fórmulas del volumen
El volumen del casquete esférico de altura \(h\) y con base de radio \(a\) de la esfera de radio \(R\) es
O bien,
Demostración:
Podemos aprovechar la función \(f\) del apartado anterior para calcular el volumen del casquete:
Calculamos el volumen:
Luego el volumen es
O bien, sustituyendo una de las relaciones que vimos anteriormente,
Otras calculadoras:
- Área y perímetro del círculo
- Área y perímetro del rectángulo
- Área y perímetro del rombo
- Área y perímetro del pentágono
- Área y perímetro del hexágono
- Área y perímetro del heptágono
- Área y perímetro del octágono
- Área y perímetro del eneágono
- Área y perímetro del decágono
- Área y perímetro del endecágono
- Área y perímetro del dodecágono
- Área y volumen del cono
- Área y volumen de la esfera
- Área y volumen del cilindro
- Área y volumen del tronco de cono
- Área y volumen del prisma triangular
- Área y volumen del prisma pentagonal
- Área y volumen del prisma hexagonal
- Área y volumen del prisma heptagonal