Calculadora del área y volumen del tronco de cono
Proporcionamos dos calculadoras online del área y volumen del tronco de cono a partir de sus radios y su altura o generatriz. También, definimos tronco de cono, enumeramos sus elementos y demostramos las fórmulas de su área y volumen.
Índice:
- Calculadoras del área y volumen
- Definición y elementos del tronco de cono
- Fórmula del área
- Fórmula del volumen
1. Calculadoras del área y volumen
Las calculadoras aproximan el resultado con 2 decimales.
Calculadora a partir de los radios y la alura:
Radio \(R_1 =\)
Radio \(R_2 =\)
Altura \(h =\)
Calculadora a partir de los radios y la generatriz (altura inclinada):
Radio \(R_1 =\)
Radio \(R_2 =\)
Generatriz \(a =\)
2. Definición y elementos del tronco de cono
Un tronco de cono recto (o cono recto truncado) con base circular es el cuerpo geométrico que se genera al hacer girar un trapecio rectangular alrededor de su lado perpendicular a la base:
El nombre se debe a que es el cuerpo que se obtiene al cortar transversalmente un cono circular recto:
Elementos del tronco de cono
Observad que se puede escribir la generatriz en función de los radios y la altura:
La base del triángulo rectángulo es
Por tanto, por el teorema de Pitágoras,
3. Fórmula del área
El área del tronco de cono circular recto con radios \(R_1\) y \(R_2\) y generatriz \(a\) es
Demostración:
El área del tronco es la suma del área de la superficie lateral y del área de las dos bases.
El área de las bases es
El lateral del tronco de cono es la superficie de revolución generada al girar la gráfica de la función \(f\) alrededor del eje de abscisas:
La función \(f\) es la recta que une los puntos \((0,R_1)\) y \((h, R_2)\):
donde \(r = R_2-R_1\).
La derivada de esta la función es
Recordad que el área de la superficie de revolución generada por una función \(f\) es
Por tanto, el área lateral del tronco de cono es
Operamos en la raíz cuadrada:
Hemos tenido en cuenta que
La ultima igualdad la vimos en el apartado 2.
Luego el área lateral del tronco de cono es
Por tanto, el área total del tronco de cono es
4. Fórmula del volumen
El volumen del tronco de cono circular recto con radios \(R_1\) y \(R_2\) y altura \(h\) es
Demostración:
Aprovechando la función definida en el apartado anterior (demostración del área), podemos calcular el volumen del tronco de cono como cuerpo de revolución:
El cuadrado de la función \(f\) es
Calculamos la integral:
Recordad que \(r = R_2-R_1\), así que
Por tanto, el volumen del tronco de cono es
Observad que el volumen del tronco es la media heroniana de las áreas de las bases:
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