Calculadora del área y perímetro del pentágono regular
Proporcionamos tres calculadoras para calcular el área y el perímetro de un pentágono regular. Además, definimos pentágono regular y demostramos las fórmulas del área y del perímetro del mismo, escribiéndolas en función del lado, de la apotema y del radio del circuncírculo.
Índice:
- Calculadoras del área y perímetro
- Definición y elementos del pentágono regular
- Apotema
- Fórmulas del perímetro
- Fórmulas del área
1. Calculadoras
Disponemos de 3 calculadoras para calcular el perímetro y el área de un pentágono regular según los datos de qué disponemos:
- Área y perímetro a partir del lado (\(L\))
- Área y perímetro a partir de la apotema (\(a_p\))
- Área y perímetro a partir del radio (\(r\))
Las calculadoras aproximan el resultado con \(n\) decimales.
Calculadora a partir del lado:
Lado: \(L =\)
Decimales: \(n =\)
Calculadora a partir de la apotema:
Apotema: \(a_p =\)
Decimales: \(n =\)
Calculadora a partir del radio:
Radio: \(r =\)
Decimales: \(n =\)
2. Definición y elementos del pentágono regular
Un pentágono es un polígono de \(5\) lados y \(5\) vértices. Es regular si todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son de \(108^\circ\):
La apotema (\(a_p\)) de un polígono regular es la distancia de cualquiera de sus lados al centro del polígono:
Observad que la apotema une el punto medio de cada lado con el centro del polígono.
La apotema de un pentágono de lado \(L\) es
La demostración está en el siguiente apartado.
Finalmente, podemos inscribir el pentágono en una circunferencia de radio \(r\):
Observad que podemos dividir el pentágono en \(5\) triángulos isósceles de lados \(r\), base \(L\) y altura \(a_p\):
Observad que dos de los ángulos del triángulo son de \(54^\circ\) (la mitad del ángulo interior del pentágono) y el otro ángulo es de \(72^\circ\) (ya que \(360^\circ/5 = 72^\circ\).
3. Apotema
Continuando con lo visto anteriormente, podemos dividir el triángulo isósceles en un triángulo rectángulo:
Por el teorema del seno,
De esta relación obtenemos la apotema en función del lado:
Operando, se transforma en
El lado en función de la apotema es
4. Fórmulas del perímetro
Lógicamente, el perímetro de un pentágono regular de lado \(L\) es
En función de la apotema \(a_p\), el perímetro es
En función del radio \(r\), el perímetro es
Nota: las dos últimas fórmulas las hemos obtenido al sustituir la apotema y el radio en la primera fórmula.
5. Fórmulas del área
El área de un pentágono regular es el área del triángulo isósceles anterior multiplicada por \(5\).
La base del triángulo es \(L\) y su altura es \(a_p\), así que el área del pentágono es
Sustituyendo en esta fórmula tenemos:
El área en función del lado \(L\):
El área en función de la apotema \(a_p\):
El área en función del radio \(r\):
Otras calculadoras:
- Área y perímetro del círculo
- Área y perímetro del rombo
- Área y volumen del cono
- Área y volumen de la esfera
- Área y volumen del cilindro
- Área y volumen del tronco de cono
- Área y volumen del prisma triangular
- Área y volumen del prisma pentagonal
- Área y volumen del prisma hexagonal
- Área y volumen del prisma heptagonal