¿Qué son las ecuaciones equivalentes?

En esta página explicamos qué son las ecuaciones equivalentes, su importancia, cómo obtenerlas y sus aplicaciones. Con ejemplos y problemas resueltos.

Índice:

Ecuaciones equivalentes
Operaciones elementales
Aplicación para la resolución de ecuaciones
Multiplicar/dividir por la incógnita
Alusión a los sistemas de ecuaciones
Problemas resueltos

1. Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes cuando la solución (o soluciones) de ambas ecuaciones es la misma.

Ejemplos

La solución de la siguiente ecuación es $x = 2$:

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones). Mostramos ejemplos, cómo pasar de una ecuación a otra ecuación equivalente y la aplicación de las ecuaciones equivalentes para su resolución. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

La solución de la siguiente ecuación también es $x = 2$:

La solución de la siguiente ecuación también es $x = 2$:

Las ecuaciones del ejemplo anterior son distintas, pero tienen la misma solución, por lo que se dice que son equivalentes. De hecho, a continuación, veremos que podemos pasar de una ecuación a otra equivalente mediante operaciones elementales.

2. Operaciones elementales

Dada una igualdad matemática, una operación es elemental cuando la igualdad se mantiene. Las operaciones elementales son las siguientes.

Sumar/restar en ambos lados de la igualdad

Multiplicar/dividir ambos lados por un número $c\neq 0$

Cambiar un término por otro (sustituir)

Si $a=h$, podemos cambiar $a$ por $h$:

Estas operaciones permiten obtener ecuaciones equivalentes.

Ejemplo

En el ejemplo del apartado anterior vimos que las dos siguientes ecuaciones son equivalentes por tener la misma solución ($x = 2$):

Veamos que podemos pasar de la primera ecuación a la segunda mediante operaciones elementales.

1. Restamos $-1$ en ambos lados:

2. Multiplicamos ambos lados por el número $2$:

Veamos que también podemos pasar de la ecuación $1 +x = 3$ a la tercera ecuación del ejemplo, que es

1. Restamos $1$ en ambos lados:

2. Dividimos entre $4$ en ambos lados:

3. Sumamos el número $3/2$ en ambos lados:

4. La suma de las fracciones del lado derecho es $2$:

$calculamos la suma de fracciones 2/4 + 3/2 = 2$

Por tanto, la ecuación resultante es

3. Aplicación para la resolución de ecuaciones

Cuando resolvemos una ecuación de primer grado (o una ecuación en general) lo que hacemos es simplificar la ecuación hasta hallar la solución (pasamos sumandos de un lado a otro, eliminamos paréntesis, etc.). Este proceso de simplificar la ecuación es en realidad la obtención de una serie de ecuaciones equivalentes a la inicial con una expresión cada vez más sencilla.

Ejemplo

Sea la ecuación

1. Pasamos el $2$ restando al otro lado:

2. Pasamos la $x$ de la derecha restando al otro lado:

3. Pasamos el coeficiente $2$ de la incógnita dividiendo al otro lado:

Observad que todas estas operaciones realizadas corresponden a operaciones elementales:

Restamos $2$ en ambos lados.
Restamos $x$ en ambos lados.
Dividimos entre $2$ en ambos lados.

Además, entre estos pasos hemos sumado o restado términos, lo cual equivale a la operación elemental de sustituir términos. Por ejemplo, hicimos el cambio $-2/2 = -1$.

4. Multiplicar/dividir por la incógnita

La operación de multiplicar o dividir toda la ecuación por la incógnita no es una operación válida para la obtención de ecuaciones equivalentes puesto que se añaden o eliminan, respectivamente, soluciones a la ecuación.

Esto es fácil de ver mediante un ejemplo.

Ejemplo

Consideremos la ecuación de segundo grado

Esta ecuación tiene dos únicas soluciones y son $x = 0$ y $x = 1$, ya que

Si dividimos la ecuación inicial entre $x$, tenemos:

La ecuación $x-1 = 0$ sólo tiene la solución $x=1$, así que no es equivalente a la inicial.

Además, nunca podemos dividir entre un valor desconocido (como es $x$) ya que $x$ podría ser $0$.

Si repetimos el proceso a la inversa, tenemos un ejemplo de adición de soluciones: si multiplicamos la ecuación $x-1=0$ por $x$, obtenemos la ecuación $x\cdot (x-1)=0$, con lo que habremos pasado de una ecuación con una solución ($x = 1$) a una ecuación con dos soluciones ($x=1$ y $x=0$).

5. Alusión a los sistemas de ecuaciones

La equivalencia entre ecuaciones es una gran herramienta para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. El álgebra matricial, que facilita dicha tarea, se basa precisamente en este tipo de operaciones elementales entre las ecuaciones del sistema.

Ejemplos y más información: