Método de Eliminación de Gauss

En esta página vamos a explicar el método de eliminación de Gauss mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (uno de cada tipo y otro extra).

Nota: para reducir el texto, consideramos que ya sabemos qué es un sistema de ecuaciones lineales.

Índice de contenidos:

  1. Tipos de sistemas
  2. Forma matricial de un sistema
  3. Método de eliminación de Gauss
  4. Sistemas resueltos por eliminación de Gauss


1. Tipos de sistemas

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser:

2. Forma matricial de un sistema

La forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales es

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

donde

Ejemplo

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Ver matrices

3. Método de eliminación de Gauss



Recordad que para resolver un sistema de ecuaciones podemos, sin alterar las soluciones del sistema:

Esto es precisamente lo que se hace en el método de Gauss: se modifican las ecuaciones para obtener un sistema mucho más fácil de resolver, pero, en lugar de hacerlo sobre las ecuaciones, se hace sobre la matriz ampliada del sistema.

Ver ejemplo

El método de eliminación de Gauss consiste en operar sobre la matriz ampliada del sistema hasta hallar la forma escalonada (una matriz triangular superior). Así, se obtiene un sistema fácil de resolver por sustitución hacia atrás.

Si finalizamos las operaciones al hallar la forma escalonada reducida (forma lo más parecida a la matriz identidad), entonces el método se denomina eliminación de Gauss-Jordan.

En los ejemplos veremos que una vez terminado el proceso, resolver el sistema es directo. Además de esto, veremos que

Nota: La clasificación de los sistemas según la forma escalonada de su matriz ampliada se deduce del teorema de Rouché-Frobenius.

4. Sistemas resueltos por Gauss



Nota: durante el método, seguiremos llamando \(A^*\) a las matrices obtenidas porque son equivalentes a la matriz ampliada inicial.

Sistema 1

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Solución

Sistema 2

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Solución

Sistema 3

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Solución

Sistema 4

Explicamos el método de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan mientras resolvemos 4 sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Sistema compatible determinado e indeterminado y sistema incompatible. Sistemas de ecuaciones lineales resueltos. Matriz ampliada. Álgebra matricial. Bachillerato. Universidad. Matemáticas.

Solución

Más ejemplos: sistemas de ecuaciones resueltos por eliminación de Gauss.

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