Clasificación de un sistema

Los sitemas de ecuaciones se clasifican según el número de soluciones en

• Sistema incompatible: no tiene solución.
• Sistema compatible determinado: tiene una única solución.
• Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones

Ejemplo de las matrices de un sistema

Sea el sistema de ecuaciones lineales

Observad que el orden de aparición de las incógnitas es el mismo en todas las ecuaciones (\(x\), \(y\), \(z\)).

Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, la matriz de coeficientes \(A\) tiene dimensión 3x3. Contiene en la fila \(m\) y columna \(n\) el coeficiente de la incógnita de la posición \(n\) en la ecuación \(m\):

La matriz de términos independientes, \(b\), es la columna formada por los números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones:

La matriz ampliada, aumentada o completa del sistema, \(A^*\), está formada por la matriz \(A\) y la matriz \(b\):

Rango

El rango de una matriz es la mayor dimensión de los menores no nulos de la matriz, o bien, si la matriz está en su forma escalonada (o escalonada reducida), el rango es el número de filas de la matriz menos el número de filas nulas.

Más información: Determinante, rango y menores.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea \(A·x = b\) la representación matricial de un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas. Entonces,

• El sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es distinto del rango de la matriz ampliada \((A|b)\).

• El sistema es compatible si los rangos coinciden. En este caso, si el rango es igual al número de incógnitas (es decir, \(n\)), el sistema es determinado. Si es menor que \(n\), es indeterminado.

Demostración del teorema en Teorema de Rouché-Frobenius.

Sistema 1

Sistema 2

Sistema 3