Teorea de Rouché Frobenius
En esta página vamos a enunciar el teorema de Rouché-Frobenius y a ver tres ejemplos de su aplicación.
Índice de contenidos:
- Clasificación de un sistema
- Ejemplo de las matrices de un sistema
- Rango
- Teorema de Rouché-Frobenius
- 3 ejemplos de aplicación del teorema
Clasificación de un sistema
Los sitemas de ecuaciones se clasifican según el número de soluciones en
- Sistema incompatible: no tiene solución.
- Sistema compatible determinado: tiene una única solución.
- Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones
Como el teorema utiliza las matrices asociadas al sistema de ecuaciones, vamos a recordarlas mediante un ejemplo.
Ejemplo de las matrices de un sistema
Sea el sistema de ecuaciones lineales
Observad que el orden de aparición de las incógnitas es el mismo en todas las ecuaciones (\(x\), \(y\), \(z\)).
Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, la matriz de coeficientes \(A\) tiene dimensión 3x3. Contiene en la fila \(m\) y columna \(n\) el coeficiente de la incógnita de la posición \(n\) en la ecuación \(m\):
La matriz de términos independientes, \(b\), es la columna formada por los números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones:
La matriz ampliada, aumentada o completa del sistema, \(A^*\), está formada por la matriz \(A\) y la matriz \(b\):
Además de esto, necesitamos calcular el rango de una matriz:
Rango
El rango de una matriz es la mayor dimensión de los menores no nulos de la matriz, o bien, si la matriz está en su forma escalonada (o escalonada reducida), el rango es el número de filas de la matriz menos el número de filas nulas.
Más información: Determinante, rango y menores.
Teorema de Rouché-Frobenius
Sea \(A·x = b\) la representación matricial de un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas. Entonces,
-
El sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es distinto del rango de la matriz ampliada \((A|b)\).
-
El sistema es compatible si los rangos coinciden. En este caso, si el rango es igual al número de incógnitas (es decir, \(n\)), el sistema es determinado. Si es menor que \(n\), es indeterminado.
Demostración del teorema en Teorema de Rouché-Frobenius.
Ejemplos de aplicación del teorema
En los ejemplos tenemos que calcular el rango de las matrices. Para variar, lo calcularemos de forma distinta en las ejemplos. Más información sobre el rango: Determinante, rango y menores de una matriz.
Sistema 1
Solución:
Ya hemos dicho anteriormente que la matriz ampliada del sistema es
El rango de esta matriz es 3 porque el determinante de la matriz \(A\) es distinto de \(0\):
Como el rango de \(A\) es máximo, el rango de la matriz ampliada \(A^*\) es también 3.
Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
Podemos calcular la solución, por ejemplo, por la regla de Cramer, obteniendo
Sistema 2
Solución:
La matriz ampliada del sistema es
El determinante de \(A\) es \(0\), así que su rango es menor que 3. El rango de \(A\) es 2 porque tiene una submatriz cuyo determinante es distinto de \(0\):
La matriz ampliada \(A^*\) tiene rango 3 porque tiene una submatriz de dimensión 3 con determinante no nulo:
Como los rangos no coinciden, por el teorema de Rouché-Frobenius, sabemos que el sistema es incompatible. No tiene solución.
Sistema 3
Solución:
La matriz ampliada del sistema es
La matriz tiene determinante nulo. Vamos a operar entre las filas de la matriz ampliada para calcular los rangos de la matriz \(A\) y \(A^*\).
Restamos la fila 1 a la fila 3:
Restamos el doble de la fila 1 a la fila 2:
Restamos la fila 2 a la fila 3 y restamos el doble de la fila 2 a la fila 1:
Por tanto, el rango de la matriz \(A\) es 2 y coincide con el rango de la matriz ampliada. Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible porque los rangos coinciden. Además, como el rango es menor que el número de incógnitas del sistema, es compatible indeterminado.
De la última matriz obtenida tenemos las ecuaciones
Por tanto, las soluciones del sistema son
Para todo \(\alpha\) de \(\mathbb{R}\).
Más ejemplos en Teorema de Rouché-Frobenius.
Calculadoras de matrices:
- Calculadora para multiplicar matrices
- Calculadora de determinantes
- Calculadora de la matriz inversa
- Calculadora de la regla de Cramer
Más información y problemas resueltos de álgebra matricial: