Teorea de Rouché Frobenius

En esta página vamos a enunciar el teorema de Rouché-Frobenius y a ver tres ejemplos de su aplicación.

índice de contenidos:


Clasificación de un sistema

Los sitemas de ecuaciones se clasifican según el número de soluciones en

  • Sistema incompatible: no tiene solución.
  • Sistema compatible determinado: tiene una única solución.
  • Sistema compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones

Como el teorema utiliza las matrices asociadas al sistema de ecuaciones, vamos a recordarlas mediante un ejemplo.

Ejemplo de las matrices de un sistema

Sea el sistema de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

Observad que el orden de aparición de las incógnitas es el mismo en todas las ecuaciones (\(x\), \(y\), \(z\)).

Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, la matriz de coeficientes \(A\) tiene dimensión 3x3. Contiene en la fila \(m\) y columna \(n\) el coeficiente de la incógnita de la posición \(n\) en la ecuación \(m\):

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

La matriz de términos independientes, \(b\), es la columna formada por los números del lado derecho del signo de igualdad de las ecuaciones:

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

La matriz ampliada, aumentada o completa del sistema, \(A^*\), está formada por la matriz \(A\) y la matriz \(b\):

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.



Además de esto, necesitamos calcular el rango de una matriz:

Rango

El rango de una matriz es la mayor dimensión de los menores no nulos de la matriz, o bien, si la matriz está en su forma escalonada (o escalonada reducida), el rango es el número de filas de la matriz menos el número de filas nulas.

Más información: Determinante, rango y menores.


Teorema de Rouché-Frobenius

Sea \(A·x = b\) la representación matricial de un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas. Entonces,

  • El sistema es incompatible si el rango de la matriz de coeficientes \(A\) es distinto del rango de la matriz ampliada \((A|b)\).

  • El sistema es compatible si los rangos coinciden. En este caso, si el rango es igual al número de incógnitas (es decir, \(n\)), el sistema es determinado. Si es menor que \(n\), es indeterminado.

Demostración del teorema en Teorema de Rouché-Frobenius.

Ejemplos de aplicación del teorema



En los ejemplos tenemos que calcular el rango de las matrices. Para variar, lo calcularemos de forma distinta en las ejemplos. Más información sobre el rango: Determinante, rango y menores de una matriz.

Sistema 1

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

Solución

Sistema 2

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Solución

Sistema 3

Teorema de Rouché Frobenius para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales a partir de los rangos de sus matrices asociadas. Con ejemplos de aplicación. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

Solución



Más ejemplos en Teorema de Rouché-Frobenius.

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