Matriz adjunta o de cofactores

En esta página definimos la matriz adjunta o de cofactores y proporcionamos 4 ejemplos de la adjunta de matrices de dimensiones 2x2 y 3x3.

Definición

Sea \(A\) una matriz de dimensión mxm. La matriz adjunta de \(A\), \(A^*\), es una matriz de la misma dimensión. El elemento de la posición fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz adjunta de \(A\) (llamado cofactor de la posición \( (i,j) \)) es

Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial

siendo la matriz \(A_{ij}\) la submatriz de \(A\) obtenida al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).

Explicación:

El factor \((-1)^{i+j}\) es 1 si la suma de las posiciones fila y columna es par, y -1 si es impar. Lo que hace este factor es determinar el signo.

Por ejemplo, si \(A\) es de dimensión 2x2:

Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial

Y, si es de dimensión 3x3:

Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial

La importancia de la matriz adjunta de una matriz \(A\) se debe a que, si la matriz \(A\) tiene inversa, podemos calcularla a partir de la traspuesta de su adjunta y su determinante mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial