Matriz adjunta o de cofactores
En esta página definimos la matriz adjunta o de cofactores y proporcionamos 4 ejemplos de la adjunta de matrices de dimensiones 2x2 y 3x3.
Definición
Sea \(A\) una matriz de dimensión mxm. La matriz adjunta de \(A\), \(A^*\), es una matriz de la misma dimensión. El elemento de la posición fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz adjunta de \(A\) (llamado cofactor de la posición \( (i,j) \)) es
![elemento de la fila i y columna j de la matriz adjunta de A Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T11.png)
siendo la matriz \(A_{ij}\) la submatriz de \(A\) obtenida al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).
Explicación:
El factor \((-1)^{i+j}\) es 1 si la suma de las posiciones fila y columna es par, y -1 si es impar. Lo que hace este factor es determinar el signo.
Por ejemplo, si \(A\) es de dimensión 2x2:
![matriz adjunta de una matriz de dimensión 2x2 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T1.png)
Y, si es de dimensión 3x3:
![matriz adjunta de una matriz de dimensión 3x3 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T2.png)
La importancia de la matriz adjunta de una matriz \(A\) se debe a que, si la matriz \(A\) tiene inversa, podemos calcularla a partir de la traspuesta de su adjunta y su determinante mediante la siguiente fórmula:
![fórmula para calcular la inversa a partir de la adjunta: A^-1 = (A*)^T/|A| Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T10.png)
Ejemplos: Cálculo de la matriz inversa.
Ejemplos de matriz adjunta
Ejemplo 1
Matriz de dimensión 2x2
![matriz A = (1, 0; 2, 1) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/12x.png)
Solución
Como la matriz es de dimensión 2, los determinantes que tenemos que calcular son de dimensión 1, así que no hay que realizar operaciones.
Calculamos todos los elementos de la matriz adjunta:
El elemento de la posición (1,1) es
![el elemento de la posición (1,1) de la matriz adjunta de A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T14.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz adjunta de A es -2 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T15.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![el elemento de la posición (2,1) de la matriz adjunta de A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T16.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![el elemento de la posición (2,2) de la matriz adjunta de A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T17.png)
Por tanto, la matriz adjunta de \(A\) es
![matriz adjunta de A: (1, -2, 0, 1) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/T18.png)
Ejemplo 2
Matriz de dimensión 2x2
![matriz A = (6, -3; -5, 2) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T12b.png)
Solución
Calculamos todos los elementos de la matriz adjunta:
El elemento de la posición (1,1) es
![el elemento de la posición (1,1) de la matriz adjunta de A es 2 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T14b.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz adjunta de A es 5 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T15b.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![el elemento de la posición (2,1) de la matriz adjunta de A es 3 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T16b.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![el elemento de la posición (2,2) de la matriz adjunta de A es 6 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T17b.png)
Por tanto, la matriz adjunta de \(A\) es
![matriz adjunta de A: (2, 5; 3, 6) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/T18b.png)
Ejemplo 3
Matriz de dimensión 3x3
![matriz A = (2, 1, 0; 1, 1, 0; 0, 0, 1) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2.png)
Solución
Como la matriz es de dimensión 3x3, tendremos que calcular determinantes de dimensión 2x2.
Calculamos los elementos de la matriz adjunta:
El elemento de la posición (1,1) es
![elemento de la posición (1,1) de la matriz A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-2.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz A es -1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-3.png)
El elemento de la posición (1,3) es
![elemento de la posición (1,3) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-4.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![elemento de la posición (2,1) de la matriz A es -1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-5.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![elemento de la posición (2,2) de la matriz A es 2 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-6.png)
El elemento de la posición (2,3) es
![elemento de la posición (2,3) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-7.png)
El elemento de la posición (3,1) es
![elemento de la posición (3,1) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-8.png)
El elemento de la posición (3,2) es
![elemento de la posición (3,2) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-9.png)
El elemento de la posición (3,3) es
![elemento de la posición (3,3) de la matriz A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-10.png)
La matriz adjunta es
![matriz adjunta de A: (1, -1, 0; -1, 2, 0; 0, 0, 1) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/inversa/P2-11.png)
Ejemplo 4
Matriz de dimensión 3x3
![matriz A = (0, 1, 0; 1, 5, 1; 0, 1, 0) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2.png)
Solución
Calculamos los elementos de la matriz adjunta:
El elemento de la posición (1,1) es
![elemento de la posición (1,1) de la matriz A es -1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-2.png)
El elemento de la posición (1,2) es
![elemento de la posición (1,2) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-3.png)
El elemento de la posición (1,3) es
![elemento de la posición (1,3) de la matriz A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-4.png)
El elemento de la posición (2,1) es
![elemento de la posición (2,1) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-5.png)
El elemento de la posición (2,2) es
![elemento de la posición (2,2) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-6.png)
El elemento de la posición (2,3) es
![elemento de la posición (2,3) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-7.png)
El elemento de la posición (3,1) es
![elemento de la posición (3,1) de la matriz A es 1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-8.png)
El elemento de la posición (3,2) es
![elemento de la posición (3,2) de la matriz A es 0 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-9.png)
El elemento de la posición (3,3) es
![elemento de la posición (3,3) de la matriz A es -1 Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-10.png)
La matriz adjunta es
![matriz adjunta de A: (-1, 0, 1; 0, 0, 0; 1, 0, -1) Ejemplos de matriz adjunta o de cofactores de matrices de dimensión 2x2 y 3x3. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial](https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/adjunta/P2-11.png)
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