Introducción

Recordad que si \(A\) es una matriz cuadrada de dimensión \(nxn\) y es regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), tal que

• \(A^{-1}\) es de dimensión \(nxn\)

• \(A^{-1}\) es el inverso multiplicativo de \(A\) por ambos lados, es decir,

  

  siendo \(I_n\) la matriz identidad de dimensión \(nxn\)

• Su determinante es

  

• \(A^{-1}\) es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto.

Inversa mediante Gauss

Dada una matriz \(A\) cuadrada de dimensión \(nxn\) y regular, definimos la matriz por bloques formada por la matriz \(A\) y la matriz \(I_n\) (matriz identidad de dimensión \(nxn\)):

Por ejemplo, si A es dimensión 2x2,

Y si es de dimensión 3x3,

Para calcular la matriz inversa de \(A\), se realizan operaciones elementales fila para conseguir la forma escalonada reducida de la matriz \(G\).

Dicho en otras palabras, se realizan operaciones elementales filas hasta conseguir la matriz identidad en el bloque izquierdo de la matriz \(G\), es decir,

Al terminar las operaciones, la matriz identidad que había en el lado derecho se ha transformado en otra matriz \(B\). Esta matriz \(B\) es precisamente la matriz inversa de \(A\).

Ejemplo

Inversa mediante la adjunta

En este método tenemos que aplicar la fórmula

Es decir, la matriz inversa de \(A\) es la matriz transpuesta de la matriz adjunta dividida entre el determinante de \(A\).

Nota: hemos llamado \(A^*\) a la matriz adjunta de \(A\). A veces, también se utiliza \(A^*\) para denotar la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones.

Recordad que la matriz adjunta de \(A\) tiene la misma dimensión que \(A\) y se calcula con determinantes de submatrices:

El elemento de la posición fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz adjunta de \(A\) es

siendo la matriz \(A_{ij}\) la submatriz de \(A\) obtenida al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).

Ejemplo

Matriz 1

Calcular la inversa de \(A\) mediante Gauss:

Matriz 2

Calcular la inversa de \(A\) mediante su adjunta:

Matriz 3

Calcular la inversa de la siguiente matriz diagonal: