Determinantes de matrices

En esta página vamos a explicar cómo se calculan los determinantes de matrices cuadradas de todas las dimensiones.

Índice de contenidos:


Introducción

El determinante de matrices de dimensión menor que 4 se calcula rápidamente mediante reglas o fórmulas. Para dimensiones mayores, es necesario desarrollar el determinante mediante otros métodos. Nosotros veremos la llamada regla de Laplace.

Notas previas:

Enlace: calculadora online de determinantes 2x2, 3x3 y 4x4.


Dimensión 1x1

Una matriz de dimensión 1x1 tiene la forma

Explicamos cómo calcular el determinante de una matriz de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4. Regla de Sarrus y desarrollo de determinantes por Laplace. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

El determinante de \(A\) es el único elemento de la matriz:

Explicamos cómo calcular el determinante de una matriz de dimensión 2x2, 3x3 y 4x4. Regla de Sarrus y desarrollo de determinantes por Laplace. Con ejemplos. Bachillerato. Universidad. Matemáticas. Álgebra matricial.

Ver ejemplo

Dimensión 2x2

Las matrices de dimensión 2x2 tienen la forma

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Su determinante es

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Regla mnemotécnica: multiplicamos en las diagonales y las restamos.

Ver ejemplo

Dimensión 3x3 (Regla de Sarrus)



Las matrices de dimensión 3x3 tienen la forma

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Su determinante se calcula mediante la llamada regla de Sarrus:

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Regla mnemotécnica: la regla de Sarrus parece complicada, pero si os fijáis bien, también estamos multiplicando diagonales. Observando los siguientes dos ejemplos, os quedará más claro:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Regla de Laplace

La regla o desarrollo de Laplace permite calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se utiliza para dimensión mayor que 3.

Existen dos versiones de la regla: desarrollo por filas y desarrollo por columnas.



Desarrollo por filas

La fórmula para el desarrollo por la fila \(i\) de la matriz \(A\) es

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siendo \(a_{ij}\) los elementos de la fila \(i\) y \(A_{ij}\) la que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) a la matriz \(A\).

Consejo: escoged siempre la fila o la columna que más 0's tenga (en caso de haberlos), para evitar tantas operaciones.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Desarrollo por columnas

El desarrollo por columnas es análogo. La fórmula para el desarrollo por la columna \(j\) es

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