En esta página vamos a explicar cómo resolver ecuaciones matriciales. En total, resolveremos 7 ecuaciones. La mayoría de las matrices son cuadradas y de dimensión 2 ó 3.
Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita es una matriz. Para poder resolver una ecuación matricial, tendremos que sumar, restar y multiplicar matrices y calcular matrices inversas.
Un ejemplo de una ecuación matricial es
La incógnita de la ecuación es la matriz
Y la solución de la ecuación es
Si os fijáis, podemos calcular el producto de la ecuación matricial obteniendo así un sistema de ecuaciones lineales:
Pero, generalmente, no resolveremos la ecuación matricial resolviendo el sistema de ecuaciones lineales asociado (frecuentemente tendríamos 9 ó más ecuaciones), sino multiplicando por las matrices inversas que aparecen en la ecuación.
Por ejemplo, si definimos las matrices
Entonces, la ecuación matricial que tenemos es
La matriz \(A\) es regular (determinante distinto de 0) y, por tanto, tiene matriz inversa:
Multiplicamos toda la ecuación por la inversa de \(A\) (la matriz \(I\) es la identidad):
Por tanto, podemos resolver la ecuación calculando el producto de la matriz inversa de \(A\) por la matriz \(B\):
Sin embargo, no siempre es todo tan fácil. Por ejemplo, si las matrices de la ecuación no son cuadradas, no podemos calcular su inversa. Entonces, tendremos que averiguar cómo resolverla.
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son las matrices
Pasamos la matriz \(B\) restando al otro lado:
La matriz \(A\) tiene inversa y es
Multiplicamos la ecuación por la inversa de \(A\) para calcular la matriz solución de la ecuación:
donde \(A\) y \(B\) son las matrices
Las matrices \(A\) y \(B\) tienen inversa y son
Multiplicamos la ecuación por la inversa de \(A\):
Y por la inversa de \(B\):
Calculamos los productos matriciales:
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son las matrices
Pasamos el sumando \(XB\) restando al otro lado:
Extraemos factor común de la matriz \(X\) en el lado izquierdo:
Por tanto, si la matriz \(A-B\) es regular, multiplicamos por su inversa para hallar la solución de la ecuación:
La resta de las matrices \(A\) y \(B\) es
La matriz tiene inversa y es
Observad que la matriz es igual a su inversa.
Calculamos la incógnita:
donde \(A\) es la matriz
La matriz \(A\) tiene inversa y es
Recordad que la matriz inversa de la traspuesta de una matriz \(A\) es la traspuesta de la inversa de \(A\):
Multiplicamos la ecuación por las inversas:
Por tanto, la solución de la ecuación matricial es
donde \(A\) y \(B\) son las matrices
Sacamos factor común de la matriz \(X\) en la ecuación:
siendo \(I\) la matriz identidad.
Si la matriz \(A-I\) es regular, entonces la solución de la ecuación es
Calculamos la resta de las matrices \(A\) e \(I\):
La matriz tiene inversa y es
Calculamos la matriz incógnita:
donde \(A\), \(B\) y \(C\) son las matrices
Como las matrices \(A\) y \(B\) tienen inversa, sólo tenemos que multiplicar la ecuación por ellas:
Calculamos las inversas:
Calculamos la matriz incógnita:
Podéis encontrar más problemas de este tipo en ecuaciones matriciales y sistemas.
Calculadoras de matrices:
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