En esta página vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los métodos, sólo vamos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Cuando sepamos resolver un sistema, ya podemos resolver problemas de aplicación: Problemas de sistemas.
El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo,
el coeficiente de 2x es 2,
el coeficiente de x es 1,
el coeficiente de -x es -1.
Explicaremos los métodos con 4 pasos y mediante un ejemplo.
El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.
Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.
Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:
Ya tenemos aislada la incógnita x.
Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):
Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.
Ya sabemos una incógnita: y=3.
Al despejar la incógnita x teníamos
Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:
Por tanto, la otra incógnita es x=2.
La solución del sistema es
El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.
Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).
Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece:
Escogemos una incógnita a eliminar: la y.
Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).
Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.
Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el Problema 2.
Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:
Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:
La solución del sistema es
El método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.
Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones.
Escogemos aislar la incógnita x:
Como x=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:
Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:
Sustituimos el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente (la primera, por ejemplo):
La solución del sistema es
Resolver el siguiente sistema por el método de igualación:
El 2 del denominador pasa al otro lado multiplicando:
La solución del sistema es
Resolver el siguiente sistema por el método de reducción:
Vamos a eliminar la incógnita x. Su coeficiente en la primera ecuación es 2 y en la segunda ecuación es 3. Para solucionar esto, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:
Ahora, la incógnita x tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones.
La solución del sistema es
Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución:
Nota: No olvidéis escribir el paréntesis al sustituir.
La solución del sistema es
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