Problemas de mcm y MCD

En esta página vamos a ver cómo el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD) nos permiten resolver problemas. Tendremos que analizar cada problema para saber si debemos calcular el mcm o el MCD.

Los dos primeros problemas los vamos a resolver muy detalladamente para ver cómo hay que razonar.

Si no recordáis cómo calcular el mcm o el MCD podéis consultar las siguientes páginas:


Problema 1 (mcm)

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

En una calle se están instalando dos semáforos: uno de ellos se pondrá en verde cada 3 minutos y el otro, cada 5 minutos. Una vez se conectan los semáforos, ¿cuánto tiempo tardarán en ponerse en verde al mismo tiempo por primera vez?

Solución:

El primer semáforo se pone en verde en el minuto 3, en el 6, en el 9, en el 12, en el 15, en el 18, en el 21... (son los múltiplos de 3).

El segundo semáforo lo hace en el minuto 5, en el 10, en el 15, en el 20... (son los múltiplos de 5).

El minuto en el que ambos semáforos se encienden al mismo tiempo por primera vez es el minuto 15 (el mínimo común).

Observad que la solución del problema es el mínimo común múltiplo de 3 y 5.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

En este caso, el mcm de los números es su producto porque son números primos (y coprimos entre sí).


Problema 2 (MCD)

En la tienda de Manuel hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Manuel quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que:

  • todas las cajas tienen el mismo número de frutas,
  • cada caja sólo puede tener peras o naranjas y
  • las cajas deben ser lo más grande posible.

¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

Solución:

Para poder repartir las 12 naranjas en cajas más pequeñas con el mismo número de naranjas, tenemos que elegir un número que sea divisor de 12. Si no, tendríamos que dividir las naranjas.

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Por ejemplo, si las cajas contienen 3 naranjas, tendríamos un total de 12/3 = 4 cajas.

Razonando del mismo modo, el número de peras en cada caja tiene que ser divisor de 18. Sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

Como la capacidad de todas las cajas tiene que ser la misma, tenemos que elegir entre los divisores de 12 y los de 18 (divisor común).

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6.

Además, tenemos que elegir el divisor común que sea máximo para que las cajas sean los más grande posible.

El divisor común más grande es 6.

Por tanto, las cajas deben tener 6 frutas cada una.

Observad que la solución del problema es el máximo común divisor de 12 y 18.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Recordad que el MCD es el producto de los factores comunes (son 2 y 3) al menor exponente.


En los siguientes problemas tenemos que elegir entre el mcm y el MCD.

Problema 3

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Carolina quiere coser una colcha collage con retales de tela cuadrados del mayor tamaño posible y que tengan el mismo tamaño. Si la colcha tiene que medir 180cm de alto y 100cm de ancho, ¿cuánto deben medir los retales? ¿Cuántos retales tiene que recortar para coser la cocha?

Solución:

La colcha de Carolina es como una cuadrícula. El lado de los retales debe ser un divisor del alto y del ancho de la colcha. Además, debe ser lo más largo posible.

Por tanto, el lado de los cuadrados debe ser el MCD de 180cm y 100cm, es decir, 20cm de lado.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

A lo alto hay 180/20 = 9 retales. A lo ancho hay 100/20 = 5 retales. Carolina debe recortar 9·5 = 45 retales cuadrados.


Problema 4

Roberto quiere cortar dos listones de madera en partes iguales para enrollarlos en plástico y guardarlos (todos deben medir lo mismo). Pero quiere cortarlos lo más largo posible para no desaprovecharlos. Si los listones miden 246cm y 328cm, ¿cuánto deben medir los trozos?

Solución:

La longitud de los trozos debe dividir las longitudes de los dos listones y, además, ser lo más grande posible.

La longitud de los trozos debe ser el máximo común divisor de 246 y 328, es decir, 82cm cada uno:

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas


Problema 5

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Jaime está practicando al béisbol con dos lanzadoras de bolas y su hermana Laura está anotando los resultados. Como de momento Jaime no ha fallado ningún tiro, Laura programa las lanzadoras para que una dispare cada 12 segundos y la otra, cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas en lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez?

Solución:

Una de las máquinas dispara en los múltiplos de 12 y la otra en los múltiplos de 16. La primera vez que coinciden es en el mcm de 12 y 16.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Como el mínimo común múltiplo de 12 y 16 es 48, las máquinas lanzarán una bola al mismo tiempo a los 48 segundos desde su programación.


Problema 6

El auto que se va a comprar Pablo necesita que un cambio de aceite cada 40.000km y de neumáticos cada 90.000km. ¿En cuántos kilómetros coincidirá por primera vez el cambio de aceite y de neumáticos?

Solución:

Los cambios de aceite se realizan en los múltiplos de 40.000km y los de neumático, en los múltiplos de 90.000km. La primera vez que los cambios coinciden es el mcm.

Tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 40.000km y 90.000km. Para que sea más fácil el cálculo, podemos escribir las distancias en decenas de millar:

  • 40.000 son 4 decenas de millar

  • 90.000 son 9 decenas de millar

El mcm de 4 y 9 es 36. Por tanto, tendrá que cambiar el aceite y los neumáticos a las 36 decenas de millar de kilómetros, esto es, a los 360.000km.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas


Problema 7

A Mariola le han regalado 15 rosas rojas y 21 gardenias y quiere colocarlas en floreros en varias estancias de su casa de modo que cada florero tenga el mismo número de rosas y el mismo número de gardenias y que éstos sean el máximo posible. ¿Cuántos floreros necesita Mariola? ¿Cuántas flores de cada tipo debe poner en cada florero?

Solución:

El número de floreros tiene que dividir al número total de rosas y al número total de gardenias. Mariola tiene que calcular el MCD de 15 y 21, que es 3.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Mariola necesita 3 floreros.

El número de rosas en cada florero es 15/3 = 5 y el de gardenias es 21/3 = 7.


Problema 8

Juan y Marta van a correr alrededor de una urbanización de su ciudad. Juan tarda 16 minutos en dar una vuelta completa y Marta tarda 24 minutos. Cuando coincidan en la salida por primera vez, ¿cuántas vueltas habrá dado cada uno?

Solución:

Juan llega a la salida en los múltiplos de 16 y Marta en los múltiplos de 24. Coinciden por primera vez en la salida en el mcm de 16 y 24, es decir, en el minuto 48.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

A los 48 minutos, Juan habrá dado 48/16 = 3 vueltas y Marta, 48/24 = 2 vueltas.


Problema 9

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

Daniel va a construir un prisma rectangular de dimensiones 60x12x18 cm (altura, anchura y profundidad) con cubos iguales y con volumen máximo. ¿Cuántos cubos tiene que comprar Daniel y con qué dimensiones?

Solución:

Los cubos miden los mismo de alto, de ancho y de profundidad. Esta medida tiene que dividir a las dimensiones del prisma y tiene que ser máxima, es decir, tiene que ser el MCD de las tres medidas del prisma.

El MCD de 60, 12 y 18 es 6.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

El prisma de Daniel requiere 60/6 = 10 cubos de altura, 12/6 = 2 cubos de anchura y 18/6 = 3 cubos de profundidad. En total, Daniel necesita comprar 2·10·3 = 60 cubos de 6x6x6 cm.


Problema 10

En el aeropuerto de México sale un avión a Madrid cada 30 minutos, uno a Bogotá cada 20 minutos y otro a Lima cada 50 minutos. Si a las 00:00h comienza la programación de los vuelos,

  • ¿a qué hora del día despegan 3 aviones al mismo tiempo con destino distinto?

  • ¿cuántas veces al día se da la misma situación (hasta las 24:00h)?

Solución:

El mcm de 20, 30 y 50 es 300. Por tanto, cada 300 minutos (5 horas) coinciden los despegues a los tres destinos.

Resolución de problemas mediante la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) o del máximo común divisor (MCD). Problemas para secundaria. ESO. Álgebra básica. Matemáticas

La primera coincidencia se produce a las 05:00h. Las siguientes son a las 10:00h, a las 15:00h y a las 20:00h. Un total de 4 veces al día.


Más problemas similares:




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