Función definida a trozos
Explicamos el concepto de función definida a trozos, proporcionamos ejemplos (con gráficas) y su continuidad. También, resolvemos algunos problemas.
Índice:
- Concepto y ejemplos
- Continuidad
- Problemas resueltos
1. Concepto y ejemplos
Una función definida a trozos es una función cuya definición cambia según el valor que toma la variable. También, recibe el nombre de función definida por partes, función segmentada y función seccionada, entre otros.
Ejemplo
Sea la función
Para calcular la imagen de un punto \(x\), usamos la primera definición si \(x\leq 0\) y la segunda si \(x> 0\).
Por ejemplo,
Esta función es la función valor absoluto \(f(x) = |x|\).
También, podemos usar intervalos en lugar de desigualdades:
La gráfica de la función es
Observad que la parte de gráfica donde \(x\leq 0\) coincide con la gráfica de la función \(y=-x\) y la parte donde \(x> 0\) coincide con la de \(y=x\).
Ejemplo
La siguiente función está compuesta por una función lineal y una cuadrática:
Gráfica:
Utilizamos el punto sólido y el punto vacío para enfatizar que la imagen de \(1\) es \(2\) y no \(-1\), puesto que hay que utilizar la primera definición de la función.
Ejemplo
Un ejemplo típico e importante de función por partes es la llamada función de Dirichlet:
Es decir, la imagen de los racionales es \(1\) y la de los irracionales es \(0\).
2. Continuidad
La continuidad de una función definida a trozos depende de la continuidad de las partes que la conforman y, además, los puntos donde cambia la definición son posibles puntos de discontinuidad.
Si \(x=a\) es un punto donde cambia la definición, la función es continua en dicho punto si existen los límites laterales y son iguales a la imagen de \(x=a\), es decir,
Ejemplo
La función de un ejemplo anterior
es discontinua en el punto \(x=1\) puesto que los límites laterales no coinciden:
En los otros puntos, la función es continua.
Ejemplo
En la función valor absoluto, la definición cambia cuando \(x=0\), pero los límites laterales son iguales a \(f(0)=0\).
Ejemplo
¡La función de Dirichlet no es continua en ningún punto!
3. Problemas resueltos
Problema 1
Determinar los intervalos de definición de la siguiente función a partir de su gráfica:
¿Es una función continua?
Problema 2
Hallar el valor del parámetro \(a\) para que la siguiente función sea continua:
Problema 3
Hallar los parámetros \(a\) y \(b\) para que la siguiente función sea continua:
Problema 4
Representar la gráfica y calcular los puntos de discontinuidad de la función
Recordad que \(\mathbb{Z} = \{0,1,-1,2,-2,...\}\).
Problema 5
Determinar y justificar la continuidad de la función
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