Función polinómica

Explicamos el concepto de función polinómica y las características básicas de las funciones polinómicas de primer, segundo y tercer grado (con ejemplos y gráficas) y resolvemos algunos problemas relacionados.

Índice:

  1. Definición
  2. Función constante
  3. Función lineal
  4. Función cuadrática
  5. Función cúbica
  6. Problemas resueltos


1. Definición

La forma general de una función polinómica de grado \(n\in\mathbb{N}\) es

Explicamos el concepto de función polinómica y las características básicas de las funciones polinómicas de primer, segundo y tercer grado (con ejemplos y gráficas) y resolvemos algunos problemas relacionados. Recta, parábola y cúbica. Matemáticas.

siendo \(a_n\neq 0\).

Los términos \(a_k\) se denominan coeficientes y \(a_n\) es el coeficiente principal.

También, podemos escribir la forma general como

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El dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los reales.


2. Función constante

Una función polinómica de grado \(0\) se denomina función constante y su forma general es

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La gráfica de una función constante es una recta horizontal (paralela al eje de abscisas).

Corta el eje de ordenadas en un punto: \((0,k)\). Sólo corta al eje de abscisas si \(k=0\), en cuyo caso coincide con el eje.

Ejemplo

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El punto de corte con el eje de ordenadas es \((0,2)\). No corta al eje de abscisas.


3. Función lineal

Una función polinómica de grado \(1\) se denomina función lineal y tiene la forma general

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El coeficiente \(m\) se denomina pendiente y el coeficiente \(n\), ordenada en el origen.

La gráfica de una función lineal es una recta oblicua (recta no horizontal ni vertical).

Corta al eje de ordenadas en el punto \((0,n)\). También, corta al eje de abscisas en un punto.

Ejemplo

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La recta es creciente (de izquierda a derecha) porque la pendiente \(m=4\) es positiva.

El punto de corte con el eje de abscisas es \((0.5,0)\) y con el eje de ordenadas es \((0,-2)\).

Más información y ejemplos en función lineal.


4. Función cuadrática


Una función polinómica de grado \(2\) se denomina función cuadrática y tiene la forma general

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La gráfica es una parábola. Tiene forma de \(\cup\) si \(a\geq 0\) y forma de \(\cap\) si \(a\leq 0\).

Una función cuadrática corta al eje de ordenadas en el punto \((0,c)\).

Puede cortar al eje de abscisas en dos, uno o ningún punto, dependiente del número de soluciones reales de la ecuación cuadrática asociada, \(ax^2+bx+c=0\).

Toda función cuadrática presenta un extremo absoluto (máximo o mínimo) en

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Este extremo se denomina vértice.

Ejemplo

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El punto de corte con el eje de ordenadas es \((0,-1)\). El vértice de la parábola también es \((0,-1)\).

Los puntos de corte con el eje de abscisas son \((-1,0)\) y \((1,0)\). Observad que las primeras coordenadas son \(x=-1\) y \(x=1\), que son las soluciones de la ecuación cuadrática \(x^2-1=0\).

Más información y ejemplos en función cuadrática.


5. Función cúbica


Una función polinómica de grado \(3\) se denomina función cúbica y tiene la forma general

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La gráfica es una curva cúbica.

Corta al eje de ordenadas en el punto \((0,d)\).

Puede cortar al eje de abscisas en tres, dos o un punto, dependiendo de las soluciones de la ecuación cúbica asociada.

Ejemplo

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Los puntos de corte con el eje de abscisas son \((0,0)\) y \((1,0)\).

El punto de corte con el eje de ordenadas es \((0,0)\).


6. Problemas resueltos

Problema 1

Hallar una función cuadrática, \(f\), que corte al eje de abscisas en los puntos \(A=(1,0)\) y \(B=(2,0)\) y una función lineal, \(g\), que pase por el punto \(B\) y por el punto de corte de \(f\) con el eje de ordenadas.

Solución

Problema 2

La forma canónica de una ecuación cuadrática es

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siendo \((h,k)\) el punto de su vértice.

Hallar la forma canónica de la siguiente función:

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Solución

Problema 3

Hallar una función cuadrática y una función cúbica en forma general que tengan, al menos, los dos siguientes puntos de corte con el eje de abscisas:

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Solución

Problema 4

Hallar la forma general de una función cúbica cuyos dos únicos puntos de corte con el eje de abscisas sean \((-1,0)\) y \((1,0)\).

Solución

Problema 5

Hallar una función cúbica que tenga los mismos puntos de corte con el eje de abscisas que \(x^2-4\) y el punto de corte \((1,0)\).

Solución




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