Ejemplo

Ejemplo de una función continua:

La gráfica se puede representar de un trazo porque es una recta.

Ejemplo de una función no continua:

Necesitamos realizar dos trazos para representar la gráfica. Esta función es discontinua en el punto \(x=0\). Esto ocurre porque \(x=0\) no tiene imagen:

La función es continua en los reales excepto \(0\):

Ejemplo

La función \(f(x) = 1/x\) no es continua en \(0\) porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de \(0\):

Problema 1

Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones racionales:

Representar las gráficas de las tres funciones.

Solución:

Una función racional es continua en todos los reales excepto en los puntos donde su denominador es \(0\). Por tanto, para hallar los puntos de discontinuidad tenemos que igualar a \(0\) el denominador y resolver la ecuación.

a) Igualamos a \(0\) el denominador y resolvemos la ecuación cuadrática:

La única solución es \(x = -1\).

Observad que podemos escribir la función como

El único punto de discontinuidad es \(x = -1\).

Gráfica de la función:

b) Igualamos a \(0\) el denominador y resolvemos la ecuación cuadrática:

La ecuación tiene dos soluciones.

Observad que podemos simplificar la función:

De este modo, vemos que el único punto que anula el denominador es \(x=0\).

La función es discontinua en \(x=0\).

Gráfica de la función:

c) Igualamos a \(0\) el denominador y resolvemos la ecuación cuadrática:

Observad que podemos escribir la función como

Los puntos de discontinuidad son \(x = 2\) y \(x=-1\).

Gráfica de la función:

Observad que en las tres funciones ocurre que los límites laterales de la función en dichos puntos no coinciden y, además, no existen las imágenes de dichos puntos.

Problema 2

Determinar los puntos de continuidad de la siguiente función:

Solución:

La función raíz cuadrada es continua en los puntos para los cuales el radicando es no negativo. Tenemos que hallar estos puntos.

Igualamos el radicando a \(0\) y resolvemos la ecuación:

Estas dos soluciones dividen la recta real en tres intervalos:

En uno o dos de estos intervalos, el radicando de la función es no negativo. Para saber cuál es, sólo tenemos que escoger algún punto al azar de cada intervalo.

Primer intervalo:

Segundo intervalo:

Tercer intervalo:

Por tanto, el radicando es no negativo en el primer y tercer intervalo. Luego la función es continua en

Observad que incluimos los puntos \(x=2\) y \(x=-2\) porque para estos valores el radicando es \(0\).

Gráfica de la función:

Problema 3

Determinar los puntos de discontinuidad de la siguiente función definida a trozos:

Solución:

La función es continua en cada uno de los tres intervalos puesto que se trata de polinomios. Los posibles candidatos a puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos: \(x=0\) y \(x = 1\).

Vamos a calcular los límites laterales en estos puntos.

Punto \(x=0\):

Punto \(x=1\):

El único punto de discontinuidad es \(x = 0\).

Gráfica de la función:

Problema 4

Determinar el valor del parámetro \(a\) para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo \(\mathbb{R}\):

Solución:

En cada intervalo, la función es continua por ser polinómica. Para que la función sea continua en todos los reales, los límites laterales en \(x=1\) han de coincidir y ser iguales a \(f(1)\).

Límite por la izquierda:

Límite por la derecha:

Igualamos los resultados:

Por tanto, la función es continua cuando \(a = 5\).

Gráfica de la función:

Problema 5

¿En qué puntos es discontinua la función tangente?

Solución:

La función tangente es el cociente de las funciones seno y coseno:

Entre \(0\) y \(2\pi\) radianes, el denominador se anula en los puntos \(\pi/2\) y \(3\pi/2\). Pero como el coseno es una función periódica, se anula cada \(\pi\) radianes.

Por tanto, la tangente es discontinua en el siguiente conjunto de puntos:

Gráfica de la función: