Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas.
Índice:
Recordad que una función matemática \(f\) relaciona cada número \(a\) de un conjunto \(A\) con un único número \(b=f(a)\) de otro conjunto, \(B\). Esto se expresa mediante \(f \colon A \rightarrow B\).
La siguiente función relaciona cada número entero con su valor absoluto:
Por ejemplo,
La imagen de \(-1\) es \(1\):
La imagen de \(1\) es \(1\):
La imagen de \(-2\) es \(2\):
La imagen de \(-5\) es \(5\):
La imagen de \(0\) es \(0\):
Gráfica:
La función \(f\) está definida sobre los números enteros, \(\mathbb{Z}\). Este conjunto es el dominio de la función.
El conjunto de las imágenes del dominio es el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\). Este conjunto es la imagen, el recorrido o el rango de la función.
Nota: la función valor absoluto también puede definirse sobre todos los reales, los enteros, los racionales o cualquier subconjunto los números complejos.
El dominio de una función es el conjunto sobre el que se define la función.
La imagen, recorrido o rango de una función es el conjunto de las imágenes de los elementos de su dominio.
En una función \(f \colon A \rightarrow B\), \(A\) es el dominio y \(B\) es el recorrido.
Muchas veces, por simplificar, se proporcionan un dominio y un recorrido genéricos. En este caso, se llama codominio al recorrido genérico y este conjunto contiene como subconjunto al recorrido de la función. Veamos un ejemplo:
Sea la función racional
Gráfica:
Esta función se ha definido sobre los números reales pero, en realidad, la función no está definida en todos los reales. Más exactamente, la función no está definida en \(0\) porque no se puede calcular su imagen: \(f(0) = 1/0\).
El dominio de esta función es todos los reales excepto \(0\):
Además de esto, ninguna imagen es negativa ni \(0\) (puesto que el inverso del cuadrado de un número no nulo es siempre positivo). La imagen de la función son los números reales positivos:
El recorrido de una función es un subconjunto del codominio, aunque pueden coincidir.
Cada función tiene un dominio y un recorrido distintos, pero tenemos algunas reglas generales:
El dominio y la imagen de una función polinómica es el conjunto de los reales.
El dominio de un logaritmo es el conjunto de los reales que hacen su argumento positivo.
El dominio de una función racional es el conjunto de los reales excepto los números que anulan el denominador.
El dominio de una raíz de orden par es el conjunto de los reales que hacen su radicando no negativo. El recorrido es un subconjunto de los reales no negativos.
Sea la función raíz cuarta:
Como el orden de la raíz es par, su dominio y su imagen es
Gráfica:
Nota: recomendamos, por ser más fácil, representar la gráfica de la función para calcular la imagen.
Determinar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:
\(f(x) = 2x^3 - 1 \)
\( g(x) = \frac{1}{x-1}\)
\( h(x) = \frac{x}{x^2-1}\)
\( q(x) = e^x \)
Determinar el dominio y la imagen de la siguiente función:
Determinar el dominio y la imagen de la función cuya gráfica es la siguiente:
Determinar el dominio y la imagen de la siguiente función:
Determinar el dominio y la imagen de la función cuya gráfica es la siguiente:
Calcular las imágenes de 1.3, 2.6, 3.1, -0.3 y -4.4.
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