Dominio y recorrido de funciones

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas.

Índice:

  1. Introducción
  2. Definiciones y ejemplos
  3. Casos generales
  4. Problemas resueltos


1. Introducción

Recordad que una función matemática \(f\) relaciona cada número \(a\) de un conjunto \(A\) con un único número \(b=f(a)\) de otro conjunto, \(B\). Esto se expresa mediante \(f \colon A \rightarrow B\).

Ejemplo

La siguiente función relaciona cada número entero con su valor absoluto:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Por ejemplo,

  • La imagen de \(-1\) es \(1\):

    Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

  • La imagen de \(1\) es \(1\):

    Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

  • La imagen de \(-2\) es \(2\):

    Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

  • La imagen de \(-5\) es \(5\):

    Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

  • La imagen de \(0\) es \(0\):

    Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Gráfica:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

La función \(f\) está definida sobre los números enteros, \(\mathbb{Z}\). Este conjunto es el dominio de la función.

El conjunto de las imágenes del dominio es el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\). Este conjunto es la imagen, el recorrido o el rango de la función.

Nota: la función valor absoluto también puede definirse sobre todos los reales, los enteros, los racionales o cualquier subconjunto los números complejos.


2. Definiciones y ejemplos


El dominio de una función es el conjunto sobre el que se define la función.

La imagen, recorrido o rango de una función es el conjunto de las imágenes de los elementos de su dominio.


En una función \(f \colon A \rightarrow B\), \(A\) es el dominio y \(B\) es el recorrido.


Muchas veces, por simplificar, se proporcionan un dominio y un recorrido genéricos. En este caso, se llama codominio al recorrido genérico y este conjunto contiene como subconjunto al recorrido de la función. Veamos un ejemplo:

Ejemplo

Sea la función racional

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Gráfica:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Esta función se ha definido sobre los números reales pero, en realidad, la función no está definida en todos los reales. Más concretamente, la función no está definida en \(0\) porque no se puede calcular su imagen: \(f(0) = 1/0\).

El dominio de esta función es todos los reales excepto \(0\):

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Además de esto, ninguna imagen es negativa ni \(0\) (puesto que el inverso del cuadrado de un número no nulo es siempre positivo). La imagen de la función son los números reales positivos:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

El recorrido de una función es un subconjunto del codominio, aunque pueden coincidir.

3. Casos generales

Cada función tiene un dominio y un recorrido distintos, pero tenemos algunas reglas generales:

Ejemplo

Sea la función raíz cuarta:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Como el orden de la raíz es par, su dominio y su imagen es

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Gráfica:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

4. Problemas resueltos


Nota: recomendamos, por ser más fácil, representar la gráfica de la función para calcular la imagen.

Problema 1

Determinar el dominio y la imagen de las siguientes funciones:

  1. \(f(x) = 2x^3 - 1 \)

  2. \( g(x) = \frac{1}{x-1}\)

  3. \( h(x) = \frac{x}{x^2-1}\)

  4. \( q(x) = e^x \)

Solución

Problema 2

Determinar el dominio y la imagen de la siguiente función:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Solución

Problema 3

Determinar el dominio y la imagen de la función cuya gráfica es la siguiente:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Solución

Problema 4

Determinar el dominio y la imagen de la siguiente función:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Solución

Problema 5

Determinar el dominio y la imagen de la función cuya gráfica es la siguiente:

Definimos qué es el dominio y el recorrido de una función, damos ejemplos y resolvemos 5 problemas. Problemas para secundaria y bachillerato. Funciones. Dominio, recorrido, imagen, rango, codominio. Matemáticas.

Calcular las imágenes de 1.3, 2.6, 3.1, -0.3 y -4.4.

Solución



Más problemas similares en Dominio y recorrido.




Problemas y Ecuaciones ©