Función inversa
Definimos función inyectiva, función suprayectiva y función inversa. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas relacionados.
Índice:
- Introducción
- Función inyectiva
- Función suprayectiva
- Función biyectiva y función inversa
- Cálculo de la inversa
- Problemas resueltos
1. Introducción
Dada una función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), a veces necesitamos calcular antiimágenes, pero esto no siempre es sencillo.
La función inversa de \(f\) es la función \(f^{-1}\) tal que \(f(a) = b\) si, y sólo si, \(f^{-1}(b) = a\).
Ejemplo
Sea \(f:\mathbb{R}-\{2\}\to \mathbb{R}-\{1\}\) la función dada por
La imagen de \(-1\) es \(0\), pero ¿cuál es la antiimagen de \(2\) y la de \(4\)?
Podemos resolver las ecuaciones \(f(x) = 2\) y \(f(x)=4\), pero es más rápido si disponemos de la función inversa:
Calculamos las antiimágenes de \(2\) y \(4\):
Gráfica de \(f\):
En esta página vamos a ver los requisitos necesarios para la existencia de la inversa y cómo calcularla.
2. Función inyectiva
Una función es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas. Es decir,
O bien,
Para comprobar que una función es inyectiva, se tiene que demostrar que si \(f(a) = f(b)\), entonces \(a=b\).
Ejemplo 1
La función \(f(x)=x^2\) no es inyectiva. Por ejemplo, las imágenes de \(1\) y \(-1\) son iguales:
Gráfica:
Ejemplo 2
La función \(f(x) = 2x\) es inyectiva.
Supongamos que \(f(a) = f(b)\):
Lo que demuestra que \(f\) es inyectiva.
Gráfica:
3. Función suprayectiva
Una función \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es suprayectiva o sobreyectiva si todo elemento del codominio tiene antiimagen. Es decir,
Esta propiedad depende del codominio: podemos definir el codominio para conseguir que una función sea suprayectiva.
Ejemplo 1
La función \(f(x) = 2x\) es suprayectiva:
Sea \(b\in\mathbb{R}\), entonces, su antiimagen es \(a=b/2\) ya que
Por ejemplo, la antiimagen de \(9\) es \(9/2\).
Ejemplo 2
La función \(f(x) = x^2\) no es suprayectiva porque los negativos no tienen antiimagen.
Sin embargo, podemos definir la función de los reales en los reales no negativos:
De este modo, la función sí es suprayectiva (hemos eliminado del codominio los números negativos, que son los que no tienen antiimagen).
Observad que la función sigue sin ser inyectiva. Para hacerla inyectiva, podemos cambiar el dominio de los reales por los reales no negativos.
4. Función biyectiva y función inversa
Una función \(f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Una función \(f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) biyectiva tiene función inversa.
La función inversa de \(f\) se define como la función \(f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) tal que
Es decir,
Ejemplo
La función \(f(x) = 2x\) es biyectiva.
Comprobamos que la función \(f^{-1}(x) = x/2\) es su inversa:
Hemos considerado la función \(f\) definida sobre los reales, pero esto no es necesario:
En general, si \(f:A\to B\), entonces, \(f^{-1}:B\to A\).
5. Cálculo de la inversa
Sea \(f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una función biyectiva. Para calcular su inversa seguimos los siguientes pasos:
- Igualamos la expresión de la función a \(y\).
- Despejamos la incógnita \(x\) (así, queda en función de \(y\)).
- Cambiamos la \(x\) por \(y\) y viceversa. La expresión obtenida es la de la inversa.
Ejemplo
Calculamos la inversa de la función
1. Igualamos a \(y\):
2. Despejamos \(x\):
3. Intercambiamos \(x\) por \(y\):
Por tanto, la función inversa es
6. Problemas resueltos
Problema 1
Determinar si las siguientes funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) son o no inyectivas o suprayectivas:
Problema 2
Determinar si la siguiente función es o no inyectiva a partir de su gráfica:
Problema 3
Calcular la inversa de la siguiente función:
Calcular la antiimagen de \(0\), \(2\) y \(-1\).
Problema 4
Calcular la inversa de la siguiente función:
Calcular la antiimagen de \(0\), \(2\) y \(-1\).
Problema 5
Calcular la inversa de la siguiente función:
Calcular la antiimagen de \(0\), \(2\) y \(-1\).
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