Asíntotas de funciones

Explicamos los tres tipos de asíntotas y resolvemos algunos problemas, con gráficas.

Índice:

  1. Introducción
  2. Asíntota horizontal
  3. Asíntota vertical
  4. Asíntota oblicua
  5. Problemas resueltos

1. Introducción

A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.

Ejemplo

Explicamos los tres tipos de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) y resolvemos algunos problemas, con gráficas. Funciones. Gráficas. Límites. Matemáticas.

La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es \(y = x+1\).

Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).

A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.


2. Asíntota horizontal


Una función \(f(x)\) tiene la asíntota horizontal \(y = k\in\mathbb{R}\) si su límite cuando \(x\) tiende a infinito es \(k\).

Distinguimos tres casos:

Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando \(x\to\pm\infty\).

Ejemplo

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Calculamos los límites:

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La función tiene la asíntota \(y=2\) por ambos lados.

Gráfica:

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También, hay asíntotas verticales: \(x = \pm \sqrt{2}/2\):

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3. Asíntota vertical


Una función \(f(x)\) tiene la asíntota vertical \(x = k\in\mathbb{R}\) si su límite cuando \(x\) tiende a \(k\) es infinito.

También, distinguimos tres casos:

Las funciones racionales (fracción de polinomios) tienen asíntotas verticales en las raíces del denominador.

Ejemplo

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Calculamos los límites cuando \(x\to 5\):

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Por tanto, \(x=5\) es una asíntota por ambos lados.

Gráfica:

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Observad que también tiene la asíntota horizontal \(y=1\).

La función logaritmo es un ejemplo de función que tiene una asíntota vertical (\(x=0\)) sólo por un lado (por la derecha):

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Los \(k\) candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los \(x=k\) para los que \(f(x)\) presenta problemas en su definición.


4. Asíntota oblicua


Una recta es oblicua si no es horizontal ni vertical. Son las rectas con ecuación

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El coeficiente \(m\) es la pendiente de la recta y \(n\) es la ordenada en el origen.

Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente resultado facilita la tarea:

Si la recta \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de \(f(x)\), entonces

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Ejemplo

Calculamos la asíntota oblicua de la función

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La pendiente es

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La ordenada en el origen es

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La asíntota oblicua es

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Se trata de una asíntota oblicua por ambos lados, por eso hemos calculado los límites con \(x\to\pm\infty\).

Gráfica:

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5. Problemas resueltos

En todos los problemas hay que hallar, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Problema 1

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Solución

Problema 2

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Solución

Problema 3

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Solución

Problema 4

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Solución

Problema 5

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Solución


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