Asíntotas de funciones
Explicamos los tres tipos de asíntotas y resolvemos algunos problemas, con gráficas.
Índice:
- Introducción
- Asíntota horizontal
- Asíntota vertical
- Asíntota oblicua
- Problemas resueltos
1. Introducción
A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.
Ejemplo
La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es \(y = x+1\).
Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).
A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.
2. Asíntota horizontal
Una función \(f(x)\) tiene la asíntota horizontal \(y = k\in\mathbb{R}\) si su límite cuando \(x\) tiende a infinito es \(k\).
Distinguimos tres casos:
-
Asíntota horizontal por la izquierda si
-
Asíntota horizontal por la derecha si
-
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que \(y=k\) es una asíntota horizontal de \(f(x)\).
Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando \(x\to\pm\infty\).
Ejemplo
Calculamos los límites:
La función tiene la asíntota \(y=2\) por ambos lados.
Gráfica:
También, hay asíntotas verticales: \(x = \pm \sqrt{2}/2\):
3. Asíntota vertical
Una función \(f(x)\) tiene la asíntota vertical \(x = k\in\mathbb{R}\) si su límite cuando \(x\) tiende a \(k\) es infinito.
También, distinguimos tres casos:
-
Asíntota vertical por la izquierda si
-
Asíntota vertical por la derecha si
-
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que \(y=k\) es una asíntota vertical de \(f(x)\).
Las funciones racionales (fracción de polinomios) tienen asíntotas verticales en las raíces del denominador.
Ejemplo
Calculamos los límites cuando \(x\to 5\):
Por tanto, \(x=5\) es una asíntota por ambos lados.
Gráfica:
Observad que también tiene la asíntota horizontal \(y=1\).
La función logaritmo es un ejemplo de función que tiene una asíntota vertical (\(x=0\)) sólo por un lado (por la derecha):
Los \(k\) candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los \(x=k\) para los que \(f(x)\) presenta problemas en su definición.
4. Asíntota oblicua
Una recta es oblicua si no es horizontal ni vertical. Son las rectas con ecuación
El coeficiente \(m\) es la pendiente de la recta y \(n\) es la ordenada en el origen.
-
La recta \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de \(f(x)\) por su izquierda si
-
Y es asíntota oblicua por su derecha si
Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente resultado facilita la tarea:
Si la recta \(y=mx+n\) es una asíntota oblicua de \(f(x)\), entonces
Ejemplo
Calculamos la asíntota oblicua de la función
La pendiente es
La ordenada en el origen es
La asíntota oblicua es
Se trata de una asíntota oblicua por ambos lados, por eso hemos calculado los límites con \(x\to\pm\infty\).
Gráfica:
5. Problemas resueltos
En todos los problemas hay que hallar, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Problema 1
Solución:
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando \(x\to \infty\):
Por tanto, la recta \(y=1\) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Igualamos el denominador a \(0\) y resolvemos la ecuación:
Calculamos los límites cuando \(x\to 0\):
Por tanto, \(x = 0\) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua \(y = mx+n\).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es \(0\), no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 2
Solución:
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando \(x\to \infty\):
Por tanto, no hay asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales
Como \(x=1\) anula al denominador, calculamos los límites en este punto:
La recta \(x=1\) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua \(y = mx+n\).
Calculamos su pendiente:
Calculamos la ordenada en el origen:
Por tanto, la recta \(y = -x-1\) es una asíntota oblicua por ambos lados.
Gráfica:
Problema 3
Solución:
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando \(x\to \infty\):
Por tanto, \(y=0\) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Calculamos las raíces del denominador:
Calculamos los límites en \(x=1\):
Por tanto, \(x=1\) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua \(y = mx+n\).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es \(0\), no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 4
Solución:
El radicando tiene que ser no negativo:
Las soluciones de esta inecuación son \(x≥2\) y \(x<-2\). Es decir, el dominio de la función es
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando \(x\to \infty\):
Por tanto, \(y=1\) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Calculamos el límite cuando \(x\to -2^-\):
Por tanto, \(x=-2\) es una asíntota vertical por la izquierda.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua \(y = mx+n\).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es nula, no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 5
Solución:
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando \(x\to \infty\):
Por tanto, no hay asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales
El denominador se anula cuando \(x=\pm 2\). Tenemos que calcular los límites laterales en estos dos puntos.
Cuando \(x\to -2\):
Cuando \(x\to 2\):
Por tanto, las rectas \(x=\pm 2\) son asíntotas verticales por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua \(y = mx+n\).
Calculamos su pendiente:
Calculamos la ordenada en el origen:
Por tanto, la recta \(y = -x\) es una asíntota oblicua por ambos lados.
Gráfica:
Más problemas similares: asíntotas de funciones.