Función cuadrática (parábola)

Explicamos los conceptos básicos relacionados con las funciones cuadráticas y resolvemos algunos problemas.

Índice:

  1. Definición y ejemplo
  2. Vértice
  3. Puntos de corte con los ejes
  4. Formas factorizada y canónica
  5. Intersección de dos parábolas
  6. Problemas resueltos

1. Definición y ejemplo

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

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siendo \(a\neq 0\).

Esta forma de escribir la función se denomina forma general.

La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.

Ejemplo

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Las parábolas tienen forma de \(\cup\) (si \(a\geq 0\)) o de \(\cap\) (si \(a\leq 0\)).

Además de la orientación, el coeficiente \(a\) es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es \(|a|\), más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.


2. Vértice


Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si \(a\leq 0\)) o un mínimo (si \(a\geq 0\)). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es

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Y la segunda coordenada es su imagen:

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Ejemplo

Calculamos el vértice de la función

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Identificamos los coeficientes:

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Como \(a\) es negativo, la parábola tiene forma de \(\cap\). El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

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Calculamos la segunda coordenada:

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Por tanto, el vértice es el punto

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Gráfica:

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3. Puntos de corte con los ejes

Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando \(x=0\), se trata del punto \((0,c)\) puesto que \(f(0)=c\).

Una función corta al eje de abscisas cuando \(y=0\). Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

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Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

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Ejemplo

Calculamos los puntos de corte de la función

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Los coeficientes de la ecuación son \(a=1\), \(b=0\) y \(c=-1\).

Eje Y:

El punto de corte con el eje Y es \((0,-1)\).

Eje X:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

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Hay dos soluciones: \(x = 1\) y \(x = -1\).

La segunda coordenada es \(0\).

Por tanto, tenemos los puntos de corte

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Gráfica:

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4. Formas factorizada y canónica


La forma factorizada de una función cuadrática es

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donde \(a\) es el coeficiente principal (visto anteriormente); \(x_1\) y \(x_2\) son las soluciones de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\).

Ejemplo

En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función \(f(x) = x^2-1\) son \((1,0)\) y \((-1,0)\). Por tanto, la forma factorizada de esta función es

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La forma canónica de una función cuadrática es

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donde \(a\) es el coeficiente principal visto ya; \(h\) es la primera coordenada del vértice y \(k\) es la segunda.

Ejemplo

Vimos en un ejemplo que el vértice de la función \(f(x)=-2x^2+3\) es \((3/4,9/8)\). Por tanto, su forma canónica es

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5. Intersección de dos parábolas

Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo

Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:

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Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:

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Las soluciones de la ecuación son \(x=1\) y \(x=-1\).

La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:

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Por tanto, los puntos de corte son \((1,0)\) y \((-1,0)\).

Gráfica:

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6. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:

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Solución

Problema 2

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

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Solución

Problema 3

Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:

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Solución

Problema 4

Determinar los puntos de corte de la parábola

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Y el vértice de la parábola

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Solución

Problema 5

Escribir la siguiente función en las formas factorizada y canónica:

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Solución

Problema 6

Calcular los puntos de intersección de las siguientes funciones:

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Solución



Más problemas similares: Propiedades de las ecuaciones cuadráticas.




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