Función cuadrática (parábola)
Explicamos los conceptos básicos relacionados con las funciones cuadráticas y resolvemos algunos problemas.
Índice:
- Definición y ejemplo
- Vértice
- Puntos de corte con los ejes
- Formas factorizada y canónica
- Intersección de dos parábolas
- Problemas resueltos, explicados y con gráficas
1. Definición y ejemplo
Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma
siendo \(a\neq 0\).
Esta forma de escribir la función se denomina forma general.
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola.
Ejemplo
Las parábolas tienen forma de \(\cup\) (si \(a> 0\)) o de \(\cap\) (si \(a< 0\)).
Además de la orientación, el coeficiente \(a\) es la causa de la amplitud de la función: cuanto mayor es \(|a|\), más rápido crece (o decrece) la parábola, por lo que es más cerrada.
2. Vértice
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si \(a< 0\)) o un mínimo (si \(a> 0\)). Este punto es el vértice de la parábola.
La primera coordenada del vértice es
Y la segunda coordenada es su imagen:
Ejemplo
Calculamos el vértice de la función
Identificamos los coeficientes:
Como \(a\) es negativo, la parábola tiene forma de \(\cap\). El vértice es un máximo.
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto
Gráfica:
3. Puntos de corte con los ejes
Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando \(x=0\), se trata del punto \((0,c)\) puesto que \(f(0)=c\).
Una función corta al eje de abscisas cuando \(y=0\). Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:
Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X. Así, el número de puntos de corte con el eje X viene dado por el signo del discriminante \(\Delta = b^2 - 4\cdot a \cdot c\):
- Si \( \Delta < 0\), la parábola no corta el eje X.
- Si \( \Delta = 0\), la parábola corta el eje X en un punto.
- Si \( \Delta > 0\), la parábola corta el eje X en dos puntos.
Para calcular las coordenadas necesitaremos usar la fórmula cuadrática:
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte de la función
Los coeficientes de la ecuación son \(a=1\), \(b=0\) y \(c=-1\).
Eje Y:
El punto de corte con el eje Y es \((0,-1)\).
Eje X:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Hay dos soluciones: \(x = 1\) y \(x = -1\).
La segunda coordenada es \(0\).
Por tanto, tenemos los puntos de corte
Gráfica:
4. Formas factorizada y canónica
La forma factorizada de una función cuadrática es
donde \(a\) es el coeficiente principal (visto anteriormente); \(x_1\) y \(x_2\) son las soluciones de la ecuación \(ax^2+bx+c=0\).
- Si la ecuación \(ax^2+bx+c=0\) no tiene soluciones, no podemos factorizar la función.
- Si la ecuación sólo tiene una solución, \(x_1\), la forma factorizada es \(f(x) = a(x-x_1)^2\).
Ejemplo
En el ejemplo anterior vimos que los puntos de corte con el eje X de la función \(f(x) = x^2-1\) son \((1,0)\) y \((-1,0)\). Por tanto, la forma factorizada de esta función es
La forma canónica de una función cuadrática es
donde \(a\) es el coeficiente principal visto ya; \(h\) es la primera coordenada del vértice y \(k\) es la segunda.
Ejemplo
Vimos en un ejemplo que el vértice de la función \(f(x)=-2x^2+3\) es \((3/4,9/8)\). Por tanto, su forma canónica es
5. Intersección de dos parábolas
Podemos preguntarnos si las gráficas de dos funciones se cortan entre sí. Para resolver esta pregunta, tenemos que igualar las funciones y resolver la ecuación resultante.
Ejemplo
Calculamos la intersección de las siguientes parábolas:
Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:
Las soluciones de la ecuación son \(x=1\) y \(x=-1\).
La segunda coordenada se obtiene calculando la imagen:
Por tanto, los puntos de corte son \((1,0)\) y \((-1,0)\).
Gráfica:
6. Problemas resueltos
Problema 1 
Calcular el vértice de la siguiente función parabólica:
Solución:
Los coeficientes son \(a=-3\), \(b=6\) y \(c=5\).
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto \((1,8)\).
Gráfica:
Problema 2
Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:
Solución:
Los coeficientes son \(a=4\), \(b=4\) y \(c=-8\).
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto
Punto de corte con el eje Y
Ocurre cuando \(x=0\), así que se trata del punto \((0,-8)\).
Punto de corte con el eje X
Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:
Hemos dividido la ecuación entre \(4\) (esta operación no cambia las soluciones).
Por tanto, los puntos de corte son \((1,0)\) y \((-2,0)\).
Gráfica:
Problema 3
Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función:
Solución:
Los coeficientes son \(a=1\), \(b=0\) y \(c=1\).
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto \((0,1)\).
Punto de corte con el eje Y
Ocurre cuando \(x=0\), así que se trata del punto \((0,1)\).
Punto de corte con el eje X
Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:
Esta ecuación no tiene soluciones. Por tanto, la parábola no corta al eje de abscisas.
Gráfica:
Problema 4
Determinar los puntos de corte de la parábola
Y el vértice de la parábola
Solución:
La forma factorizada nos facilita calcular los puntos de corte con el eje X:
Punto de corte con el eje Y (sustituimos \(x=0\)):
Por tanto, es el punto \((0,-6)\).
Gráfica de \(f\):
La forma canónica de la función \(g\) nos proporciona las coordenadas de su vértice: \((2,-4)\).
Gráfica de \(g\):
Problema 5
Escribir la siguiente función en las formas factorizada y canónica:
Solución:
Los coeficientes son \(a=1/2\), \(b=1\) y \(c=-4\).
La primera coordenada del vértice es
Calculamos la segunda coordenada:
Por tanto, el vértice es el punto
La forma canónica de la función es
Punto de corte con el eje Y: \((0,-4)\).
Punto de corte con el eje X
Resolvemos la ecuación cuadrática asociada:
Son los puntos \((2,0)\) y \((-4,0)\).
La forma factorizada de la ecuación es
Gráfica:
Problema 6
Calcular los puntos de intersección de las siguientes funciones:
Solución:
Igualamos ambas funciones y resolvemos la ecuación:
Calculamos la otra coordenada:
Sólo hay un punto de intersección:
Gráfica:
Más problemas similares: Propiedades de las ecuaciones cuadráticas.