Funciones lineales (rectas)
Explicamos los conceptos básicos relacionados con las funciones lineales y resolvemos algunos problemas.
Índice:
- Definición y ejemplo
- Pendiente y ordenada
- Gráfica
- Puntos de corte con los ejes
- Función a partir de dos puntos
- Intersección de dos funciones
- Paralelas y perpendiculares
- Problemas resueltos
1. Definición y ejemplo
Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma
siendo \(m\neq 0\).
- \(m\) es la pendiente de la función
- \(n\) es la ordenada (en el origen) de la función
La gráfica de una función lineal es siempre una recta.
Ejemplo
La pendiente de la función es \(m=2\) y la ordenada es \(n=-1\).
2. Pendiente y ordenada
La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, \(m\).
Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.
- Si la pendiente es positiva, la función es creciente.
- Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.
Ejemplo
Rectas con pendientes 1, 2, 3 y -1:
Observad que la recta con pendiente negativa \(-1\) es decreciente (la roja). Las otras tres rectas son crecientes.
De las rectas crecientes, la que crece más rápidamente es la verde (pendiente \(3\)).
3. Gráfica
Como una función lineal es una recta, para representar su gráfica sólo tenemos que trazar la recta que une dos de sus puntos. Para ello, calculamos la imagen de dos puntos cualesquiera.
La definición formal de la gráfica de la función es el conjunto de puntos siguiente:
$$ \{ (x, f(x))\}$$
Ejemplo
Vamos a representar la gráfica de la función
Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica:
Representamos la recta a partir de los puntos \((4,5)\) y \((-2,-7)\):
Observad que la recta corta al eje Y por debajo del eje X, esto se debe a que la ordenada es negativa (\(n = -3\)).
4. Puntos de corte con los ejes
Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en un punto.
El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a \(0\):
El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene \(0\) en la segunda coordenada. Se calcula igualando a \(0\) la función y resolviendo la ecuación obtenida.
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte de la función del ejemplo anterior,
Corte con el eje Y:
Es el punto
Observad que la segunda coordenada es la ordenada.
Corte con el eje X:
Es el punto
5. Función a partir de dos puntos
Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la forma general de la función
y resolver el sistema de ecuaciones.
Ejemplo
Vamos a calcular la función lineal que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((2,7)\).
Tenemos que hallar la pendiente, \(m\), y la ordenada, \(n\).
Primer punto
Como \(x =1\) e \(y=2\), sustituyendo,
Segundo punto
Como \(x =2\) e \(y=7\), sustituyendo,
Tenemos el sistema
Resolviendo el sistema, por ejemplo, por reducción, tenemos que \(m = 5\) (con lo que \(n=-3\)). Por tanto, se trata de la función
6. Intersección de dos funciones
Si tenemos dos funciones lineales, podemos preguntarnos si las rectas que representan se cortan y en qué punto lo hacen.
Para responder esta pregunta, sólo tenemos que igualar las dos expresiones algebraicas y resolver la ecuación.
Ejemplo
Vamos a calcular el punto de corte de las dos siguientes rectas:
Como \(y = y\), igualando,
Resolvemos la ecuación:
La primera coordenada del punto de corte es \(x=4\). La segunda coordenada la obtenemos calculando su imagen en alguna de las dos rectas:
Por tanto, el punto de corte es \((4,7)\).
Gráfica:
7. Paralelas y perpendiculares
Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningún punto (o si son iguales). Esto ocurre cuando tienen la misma pendiente, \(m\).
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo recto (ángulo de 45°). Las rectas perpendiculares a la recta con pendiente \(m\) son las que tienen pendiente \(-1/m\).
Ejemplo
Las siguientes rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente (\(m=2\)):
Las siguientes rectas son perpendiculares porque la pendiente de la una es el opuesto del inverso de la pendiente de la otra:
8. Problemas resueltos
Problema 1
Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la función. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
Resolvemos:
La pendiente de la recta es \(m = -2\). Como es negativa, es una recta decreciente.
La recta corta al eje Y cuando \(x=0\), por tanto, lo hace en el punto
La recta corta al eje X cuando \(y=0\). Tenemos que resolver una ecuación:
El punto de corte es
Como tenemos dos puntos de la recta, podemos representar su gráfica:
Problema 2
Calcular y representar la función cuya gráfica es una recta que pasa por los puntos \((1,2)\) y \((-3,4)\). ¿Cuál es su pendiente?
Resolvemos:
La forma general de una recta es
Vamos a calcular \(m\) y \(n\) sustituyendo las coordenadas de los puntos.
Primer punto:
Segundo punto:
Tenemos un sistema de ecuaciones:
Restando la primera ecuación a la segunda tenemos
Sustituyendo \(m\), tenemos \(n = 5/2\).
Por tanto, se trata de la función
Gráfica:
La pendiente de la función es \(m = -1/2\).
Problema 3
Las pendientes de tres rectas son \(m_1 = 1\), \(m_2 = -2\) y \(m_3 = 3\).
¿Cuál de ellas crece más rápidamente? ¿Cuál de ellas es una recta decreciente?
Problema 4
Hallar, si existe, el punto de corte de las siguientes rectas:
¿Son rectas paralelas o perpendiculares?
Resolvemos:
Igualamos las funciones para calcular el punto de corte:
Resolvemos la ecuación:
Calculamos \(y\) a partir de \(x\):
Las rectas se cortan en el punto \((4,5)\).
Como se cortan, no pueden ser paralelas.
Tampoco son perpendiculares porque las pendientes son positivas (es indispensable tener pendientes de signo contrario para ser perpendiculares).
Gráfica:
Problema 5
Hallar, si existe, el punto de corte de las siguientes rectas:
¿Son rectas paralelas o perpendiculares?
Resolvemos:
Las dos rectas tienen la misma pendiente:
Por tanto, se trata de dos rectas paralelas, lo que significa que no se cortan, a no ser que sean la misma recta.
Por ejemplo, el punto \((1,2)\) es un punto de la primera función, pero no de la segunda, así que no son la misma recta.
Gráfica:
También, podemos igualar las funciones, pero como las rectas son paralelas, obtendremos una igualdad falsa.
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