¿La circunferencia es la gráfica de una función?

Las rectas o las parábolas son ejemplos de conjuntos del plano que pueden verse como la gráfica de una función, pero ¿una circunferencia también puede ser la gráfica de una función?

Como primera respuesta a esta pregunta, diremos que no, la circunferencia no puede ser la gráfica de una función y a continuación veremos por qué y cómo representar una circunferencia mediante funciones.

Índice:

1. Circunferencia como conjunto del plano
2. La circunferencia como gráfica
3. Semicircunferencia como gráfica
4. La distancia de los puntos al centro es el radio
5. Problemas resueltos

1. Circunferencia como conjunto del plano

La circunferencia de radio \(R > 0\) y centro \(P = (a, b)\) es el conjunto de puntos \((x,y)\) del plano tales que

Dicho en otras palabras, son los puntos que distan \(R\) del punto \(P\).

Representación gráfica:

2. La circunferencia como gráfica

Para ver que una circunferencia no puede ser la gráfica de una única función, pensemos en la circunferencia de centro \((0,0)\) y radio \(R = 1\), cuya ecuación es \(x^2+y^2 = 1\):

Es fácil de ver que los puntos \((0,1)\) y \((0,-1)\) pertenecen a la circunferencia, pues verifican su ecuación:

Representación:

Ahora, recordemos que la gráfica de una función son los puntos (\(\alpha ,f(\alpha)\)).

Si suponemos que existe una función cuya gráfica sea la circunferencia en cuestión, entonces dicha función debería tener dos imágenes distintas para 0:

Y sabemos que

Una función tiene una ÚNICA imagen para cada punto de su dominio.

Por tanto, no puede haber una función cuya gráfica sea una circunferencia.

3. Semicircunferencia como gráfica

Ahora bien, podemos considerar la circunferencia como dos semicircunferencias:

En este caso, las dos semicircunferencias sí pueden ser las gráficas de dos funciones (\(f\) y \(g\)) y dichas funciones podemos obtenerlas de la propia ecuación de la circunferencia. Sólo tenemos que aislar \(y\):

Las funciones serían, pues,

Y el dominio de ambas funciones debe ser el intervalo \([-1,1]\).

4. La distancia de los puntos al centro es el radio

Vamos a comprobar que, en efecto, los puntos de la circunferencia de centro \(P=(a,b)\) y radio \(R\) es exactamente \(R\).

Por un lado, la ecuación de la circunferencia referida es

Por otro lado, la distancia (euclídea) entre el punto \((a,b)\) y cualquier punto \((\alpha ,\beta )\) es

Ahora bien, si \((x ,y)\) es un punto de la circunferencia, entonces verifica la ecuación y, por tanto,

Luego la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro es exactamente el radio.

5. Problemas resueltos

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ISSN 2659-9899