Ecuación de la circunferencia

$$ (x-a)^2 +(y-b)^2 = R^2$$

En esta página proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R, (x-a)²+(y-b)² = R², y de los círculos con y sin borde. Tmabién, resolvemos problemas resueltos relacionados, explicados paso a paso.

Índice:

  1. Definición de circunferencia
  2. Ecuación de la circunferencia
  3. Ecuación del círculo
  4. Puntos de la circunferencia
  5. Problemas resueltos

1. Definición de circunferencia

Una circunferencia en el plano se caracteriza por dos elementos: su centro y su radio.

Dado un punto \(P = (a,b)\) del plano, la circunferencia de centro \(P\) y radio \(R\) es el conjunto de puntos situados a una distancia \(R\) de \(P\):

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

La distancia de cualquier punto de la circunferencia a su centro es exactamente \(R\):

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.


2. Ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia de centro \(P = (a,b)\) y radio \(R\) es

Proporcionamos la ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio R: (x-a)²+(y-b)² = R² y del círculo. Resolvemos problemas resueltos explicados paso a paso. Puntos de la circunferencia. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

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Si el centro es el origen de coordenadas \(P = (0,0)\), la ecuación es más sencilla:

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3. Ecuación del círculo

Un círculo es como una circunferencia, pero incluye su interior:

Dado un punto \(P = (a,b)\) del plano, el círculo de centro \(P\) y radio \(R\) es el conjunto de puntos situados a una distancia menor o igual que \(R\) de \(P\).

Por tanto, sólo tenemos que cambiar el signo \(=\) por el signo \(≤\) en la ecuación de la circunferencia:

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Finalmente, si no queremos el borde del círculo, escribimos el signo de desigualdad estricta:

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4. Puntos de la circunferencia

Si queremos saber si un punto forma parte de una circunferencia dada (o de un círculo), sólo tenemos que comprobar si sus coordenadas cumplen la ecuación.

Ejemplo

Comprobamos si el punto \((0,1)\) forma parte de la circunferencia \(x^2 +y^2 = 1\):

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Como el punto verifica la ecuación, está en la circunferencia. Veamos que el punto \((1,1)\) no está en la circunferencia:

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Representación:

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5. Problemas resueltos

Problema 1

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (1, 2) y de radio 2.

Solución:

Aplicando la fórmula, la ecuación es de la circunferencia es

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Problema 2

Comprobar si los siguientes puntos pertenecen a la circunferencia del problema anterior: (0, 0), (1, 0), (3, 0), y (3, 2).

Solución:

Tenemos que comprobar si las coordenadas verifican la ecuación.

Punto (0, 0):

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Este punto no está en la circunferencia.

Punto (1, 0):

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Este punto sí está en la circunferencia.

Punto (3, 0):

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Este punto no está en la circunferencia.

Punto (3, 2):

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Este punto sí está en la circunferencia.

Representación gráfica:

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Problema 3

¿Cuál es el radio y el centro de la siguiente circunferencia?

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Solución:

Teniendo en cuenta la fórmula, el centro de la circunferencia es el punto (0, -1) y el radio es 3.


Problema 4

Escribir la ecuación del círculo cuyo borde es la circunferencia de radio 2 y centro (1, -1).

Solución:

La ecuación de la circunferencia es

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Por tanto, la ecuación del círculo que buscamos es

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Problema 5

Problema difícil

¿La siguiente ecuación es la ecuación de una circunferencia? En caso afirmativo, ¿cuál es su centro y radio?

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Solución:

Recordamos la ecuación de la circunferencia:

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Tenemos que pensar los valores de \(a\), \(b\) y \(R^2\) para que la ecuación coincida con la del problema.

Si desarrollamos los cuadrados, tenemos

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Como en la ecuación del problema sólo aparece una \(y\) (al cuadrado), sabemos que \(b=0\). Por tanto,

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En la ecuación del problema tenemos el sumando \(2x\), así que podemos afirmar que \(a = -1\). Por tanto,

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Comparamos esta ecuación con la del problema:

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Finalmente, tenemos la relación

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Por tanto, podemos reescribir la ecuación como

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Se trata de la ecuación de la circunferencia de centro (-1,0) y radio \(\sqrt{3}\).








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