Ecuaciones: interpretación geométrica

En esta página mostramos la interpretación geométrica de una ecuación: las soluciones de una ecuación proporcionan los puntos de corte entre las gráficas de dos funciones. También, explicamos que podemos deducir el número de soluciones de una ecuación según las funciones implicadas. Con ejemplos y problemas resueltos.

Índice:

1. Gráfica y puntos de corte
2. Ecuación
3. Soluciones de la ecuación
4. Problemas resueltos

1. Gráfica y puntos de corte

Recordamos que la gráfica de una función \(y = f(x)\) es el conjunto de puntos \((x, f(x))\).

La intersección de la gráfica de dos funciones \(y = f(x)\) e \(y = g(x)\) son los puntos donde las gráficas se cortan.

Ejemplo

La gráfica de \(f(x) = 2x+1\) y la de \(g(x) = x^2-2x+1\) se cortan en los puntos \((0, 1)\) y \((4, 9)\):

Las dos gráficas se cortan en estos puntos porque coinciden las imágenes de las funciones para \(x=0\) y para \(x = 4\):

Una forma de hallar las \(x\) para las que dos gráficas se cortan es igualar las expresiones analíticas de las ecuaciones, es decir, resolver la ecuación \(f(x) = g(x)\).

Más información en

• Gráfica de una función
• Puntos de corte

2. Ecuación

Comúnmente, se considera la solución de una ecuación como el valor que debe tomar \(x\) para que la igualdad de la ecuación se cumpla. Sin embargo, podemos ver una ecuación como una igualdad entre dos funciones. Para que sea más sencillo de explicar y entender, nos ayudaremos de un ejemplo.

Ejemplo

Sea la ecuación de primer grado

Consideremos esta ecuación como una igualdad entre dos funciones:

Lógicamente, las funciones \(f\) y \(g\) son

Tal y como hemos comentado anteriormente, la solución de la ecuación \(f(x) = g(x)\) son los valores de \(x\) tales que \(f(x) = g(x)\) y, por ende, las primeras coordenadas de los puntos de corte entre las gráficas de \(f\) y de \(g\).

Resolvemos la ecuación del ejemplo:

Como la ecuación sólo tiene una solución, las gráficas de \(f\) y de \(g\) se cortan en un único punto: el punto cuya primera coordenada es \(x=1\).

Calculamos la segunda coordenada de dicho punto:

Luego el punto de corte de las gráficas de \(f\) y de \(g\) es (1, 1).

Gráficas:

3. Soluciones de la ecuación

Al considerar una ecuación como una igualdad entre funciones para hallar sus puntos de corte, es fácil ver que pueden darse las siguientes situaciones:

• Una ecuación puede no tener solución (real). Ocurre cuando las dos gráficas no se cortan:

• Una ecuación puede tener una única solución. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en un único punto:

• Una ecuación puede tener varias soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas se cortan en varios puntos:

• Una ecuación puede tener infinitas soluciones. Ocurre cuando las dos gráficas son iguales (se cortan en todos sus puntos) o cuando se cortan en infinitos puntos pero no en todos:

Ahora bien, el número de soluciones dependerá de las funciones implicadas.

Ejemplo

Si ambas gráficas son rectas, sólo caben 3 posibilidades:

• No se cortan (la ecuación no tiene solución) porque las rectas son paralelas:

• Se cortan en un solo punto (la ecuación tiene una solución):

• Se cortan en todos los puntos (la ecuación tiene infinitas soluciones) porque se trata de la misma recta.

4. Problemas resueltos

Temas relacionados:

• ¿Qué es una ecuación?
• ¿Todas las ecuaciones tienen solución?
• ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
• ¿Hay ecuaciones sin solución?
• ¿Por qué se dice al cuadrado y al cubo?
• Pasar de un lado a otro de la igualdad

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ISSN 2659-9899