Ecuaciones: interpretación geométrica

En esta página mostramos la interpretación geométrica de una ecuación: las soluciones de una ecuación proporcionan los puntos de corte entre las gráficas de dos funciones. También, explicamos que podemos deducir el número de soluciones de una ecuación según las funciones implicadas. Con ejemplos y problemas resueltos.

Índice:

  1. Gráfica y puntos de corte
  2. Ecuación
  3. Soluciones de la ecuación
  4. Problemas resueltos


1. Gráfica y puntos de corte

Recordamos que la gráfica de una función \(y = f(x)\) es el conjunto de puntos \((x, f(x))\).

La intersección de la gráfica de dos funciones \(y = f(x)\) e \(y = g(x)\) son los puntos donde las gráficas se cortan.


Ejemplo

La gráfica de \(f(x) = 2x+1\) y la de \(g(x) = x^2-2x+1\) se cortan en los puntos \((0, 1)\) y \((4, 9)\):

Interpretación geométrica de las ecuaciones. Una ecuación puede verse como una igualdad entre dos funciones y la solución son los puntos de corte de las gráficas de dichas funciones. Podemos deducir el número de soluciones. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Geometría plana. Secundaria. ESO. Matemáticas.

Las dos gráficas se cortan en estos puntos porque coinciden las imágenes de las funciones para \(x=0\) y para \(x = 4\):

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Una forma de hallar las \(x\) para las que dos gráficas se cortan es igualar las expresiones analíticas de las ecuaciones, es decir, resolver la ecuación \(f(x) = g(x)\).


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2. Ecuación

Comúnmente, se considera la solución de una ecuación como el valor que debe tomar \(x\) para que la igualdad de la ecuación se cumpla. Sin embargo, podemos ver una ecuación como una igualdad entre dos funciones. Para que sea más sencillo de explicar y entender, nos ayudaremos de un ejemplo.


Ejemplo

Sea la ecuación de primer grado

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Consideremos esta ecuación como una igualdad entre dos funciones:

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Lógicamente, las funciones \(f\) y \(g\) son

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Tal y como hemos comentado anteriormente, la solución de la ecuación \(f(x) = g(x)\) son los valores de \(x\) tales que \(f(x) = g(x)\) y, por ende, las primeras coordenadas de los puntos de corte entre las gráficas de \(f\) y de \(g\).

Resolvemos la ecuación del ejemplo:

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Como la ecuación sólo tiene una solución, las gráficas de \(f\) y de \(g\) se cortan en un único punto: el punto cuya primera coordenada es \(x=1\).

Calculamos la segunda coordenada de dicho punto:

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Luego el punto de corte de las gráficas de \(f\) y de \(g\) es (1, 1).

Gráficas:

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3. Soluciones de la ecuación

Al considerar una ecuación como una igualdad entre funciones para hallar sus puntos de corte, es fácil ver que pueden darse las siguientes situaciones:

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Ahora bien, el número de soluciones dependerá de las funciones implicadas.


Ejemplo

Si ambas gráficas son rectas, sólo caben 3 posibilidades:

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4. Problemas resueltos

Problema 1

Comprobar que la gráfica de \(f(x) = 2x-1\) y la de \(g(x) = 2x+3\) no se cortan.

Solución

Problema 2

¿En cuántos puntos se cortan las gráficas de \(f(x) = x^2+1\) y \(g(x) = 1-x\)?

Solución

Problema 3

Responder las cuestiones sin resolver la siguiente ecuación:

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  1. ¿Puede tener tres soluciones?
  2. ¿Puede tener infinitas soluciones?
Solución

Problema 4

Resolver geométricamente la siguiente ecuación:

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Solución

Problema 5

Escribir una ecuación que no tenga solución.

Solución

Problema 6

¿Cuántas soluciones puede tener la ecuación \(f(x) = g(x)\) si \(f\) y \(g\) son dos parábolas?

Solución

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ISSN 2659-9899