Cómo dibujar la gráfica de una función

Explicamos qué es la gráfica de una función y cómo dibujarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Secundaria. ESO.

En esta página explicamos qué es la gráfica de una función y cómo representarla con la ayuda de algunos de sus puntos. También, mostramos algunos ejemplos de gráficas (función lineal, parabólica, cúbica, etc.) y explicamos cómo calcular los puntos de corte con los ejes. Se incluyen ejemplos, gráficas y problemas resueltos.

Índice:

Concepto de gráfica y ejemplo
Ejemplos de gráficas
Puntos de corte
Problemas resueltos

1. Concepto de gráfica y ejemplo

Dada una función $y = f(x)$, su gráfica, $gr(f)$, es el conjunto de puntos $(x,f(x))$, esto es, el conjunto de puntos cuya segunda coordenada es la imagen de la primera coordenada, siendo la primera coordenada un elemento del dominio de la función.

Matemáticamente,

$$ gr(f) := \{ (x,y)|y=f(x), \forall x\in Dom(f)\}$$

Ejemplo

Consideremos la función $f(x) = 2x +1$.

Para calcular los puntos de la gráfica, damos valores a $x$ y calculamos su imagen (sustituyendo). Es recomendable que usemos una tabla:

En la primera columna escribimos los valores que damos a $x$ y en la segunda columna escribimos su imagen (se calcula sustituyendo en la función):

Cada número de la primera columna es la primera coordenada de un punto de la gráfica; y, cada uno de la segunda, la segunda coordenada.

Los tres puntos obtenidos son

Para dibujar la gráfica de $f$, representamos los puntos y los unimos:

La gráfica de esta función es una recta.

2. Ejemplos de gráficas

Las gráficas de las funciones pueden ser muy variadas: rectas, parábolas, hipérbolas, etc. Veamos algunos ejemplos.

Función parabólica $y = x^2$:

Función hiperbólica $y = 1/x$:

Función cúbica $y = x^3-3x$:

Función coseno $y = cos(x)$:

La forma de la gráfica de una función puede predecirse atendiendo a la expresión algebraica de dicha función.

Por ejemplo, las rectas siempre son funciones polinómicas de grado $1$:

Y, las parábolas, son polinómicas de grado $2$:

siendo, $m\neq 0$ y $a\neq 0$.

Más información de estas funciones en

3. Puntos de corte

Los puntos de corte de una función con los ejes son los puntos donde la gráfica corta o atraviesa los ejes de coordenadas.

Ejemplo

En rojo, los puntos de corte de la función $f(x) = x^3-3x+2$:

El punto A es el punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y) y los puntos B y C son los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X).

No todas las funciones tienen puntos de corte. De haberlos, sólo puede haber un punto de corte con el eje Y; mientras que puede haber varios puntos de corte con el eje X.

Calcular el punto de corte con Y

Si lo hay, el punto de corte con el eje Y siempre es el punto cuya primera coordenada es $0$ y cuya segunda coordenada es $f(0)$.

Por ejemplo, la función $f(x) = x +2$ corta al eje Y en el punto

Gráfica:

Calcular el punto de corte con X

Si los hay, son la o las soluciones de la ecuación $f(x)=0$.

Por ejemplo, la función $f(x) = x +2$ sólo corta al eje X en un punto porque la ecuación $x+2=0$ sólo tiene una solución. Como dicha solución es $x = -2$, el punto de corte es $(-2,0)$: