Puntos de corte con los ejes
En esta página explicamos qué son y cómo calcular los puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas, con ejemplos y problemas resueltos.
Índice:
- Recordatorio (gráfica)
- Puntos de corte con el eje Y
- Puntos de corte con el eje X
- Problemas resueltos
1. Recordatorio (gráfica)
Recordad que la gráfica de una función \(y = f(x)\) es el conjunto de puntos \((x, f(x))\).
Los puntos de corte con los ejes son los puntos donde la gráfica corta a los ejes de coordenadas, es decir, los puntos de la gráfica que están sobre los ejes.
Ejemplo
La gráfica de la función \(f(x) = x^2-1\) es una parábola:
Los puntos representados sobre la gráfica son
Observad que la segunda coordenada de cada punto es el cuadrado de la primera coordenada menos \(1\) (es decir, su imagen).
Los puntos rojos son los puntos de corte de la gráfica con los ejes. A continuación, explicamos cómo calcular estos puntos de corte.
Más información en dibujar la gráfica de una función.
No todas las gráficas cortan los ejes. Además, puede haber, como mucho, un punto de corte con el eje Y, mientras que puede haber varios puntos de corte con el eje X.
2. Puntos de corte con el eje Y
Como dijimos, puede haber a lo sumo un punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y).
Todos los puntos que están sobre el eje Y tienen su primera coordenada igual a \(0\) y, por tanto, el punto de corte de la gráfica de \(y = f(x)\) es
Si la función no está definida para \(x=0\) (es decir, no existe \(f(0)\)), entonces no tenemos punto de corte. Esto ocurre, por ejemplo, con la función \(f(x) = 1/x\), cuya gráfica es
Observad que la función se acerca al eje Y, pero nunca llega a tocarlo. Lo mismo ocurre con el eje X.
Ejemplo
Calculamos el punto de corte de la función \(f(x) = x^2+2\) con el eje Y:
Por tanto, el punto de corte es \((0,2)\).
Gráfica de la función:
La razón de que no pueda haber más de un punto de corte con el eje Y es que una función no puede tener varias imágenes para un mismo valor de \(x\). Como sólo puede existir un \(f(0)\), sólo puede haber un único punto de corte con Y.
3. Puntos de corte con el eje X
Los puntos que están situados sobre el eje de abscisas (eje X) tienen en común que su segunda coordenada es igual a \(0\). Por tanto, los puntos de la gráfica que cortan el eje son los \((x,f(x))\) tales que \(f(x)=0\).
Para hallar estos puntos, tenemos que resolver la ecuación obtenida al igualar la función a \(0\):
Ejemplo
Calculamos los puntos de corte con el eje X de la función \(f(x) = x^2-9\) resolviendo la ecuación cuadrática incompleta siguiente:
Tenemos dos soluciones y, por ende, dos puntos de corte:
Gráfica de la función:
El número de puntos de corte con el eje X es el número de soluciones de la ecuación \(f(x) = 0\). Es por esto por lo que pude haber varios o ningún punto de corte con este eje.
4. Problemas resueltos
Problema 1
Calcular los puntos de corte con los ejes de la siguiente función:
Problema 2
Calcular los puntos de corte con los ejes de la siguiente función:
Problema 3
Calcular los puntos de corte con los ejes de la siguiente función:
Problema 4
Proporcionar un ejemplo de una función en cada caso:
- No corta al eje Y
- Corta al eje Y
- No corta al eje X
- Corta al eje X en un punto
- Corta al eje X en dos puntos
- Corta al eje X en tres puntos
Más problemas similares: dibujar la gráfica de una función.