Paréntesis por paréntesis

En esta página explicamos como calcular la multiplicación de dos paréntesis como, por ejemplo,

Explicamos cómo multiplicar paréntesis: se multiplica cada sumando de un paréntesis por cada sumando del otro paréntesis. Sumas por sumas, suma por diferencia, suma y resta al cuadrado. Con ejemplos, fórmulas y problemas resueltos explicados paso a paso. Secundaria. Bachillerato. Álgebra. Matemáticas.

Índice:

Paréntesis por paréntesis
Suma por suma
Suma por diferencia
Suma/resta al cuadrado
Operaciones con letras
Problemas resueltos

1. Paréntesis por paréntesis

Cuando tenemos un paréntesis multiplicando a otro paréntesis, los resultados de los paréntesis deben multiplicarse.

Ejemplo

Sin embargo, no siempre podemos calcular el resultado de las operaciones de dentro de los paréntesis y, por tanto, debemos encontrar otra forma para calcular el resultado de la multiplicación.

2. Suma por suma

Normalmente, el contenido de los paréntesis son sumas o restas con dos o más sumandos. Entonces, el resultado se calcula multiplicando TODOS los sumandos de uno de los paréntesis por TODOS los sumandos del otro.

Ejemplo

El procedimiento es el mismo si hay más sumandos.

Ejemplo

Puede darse el caso de que los sumandos tengan signo negativo. Entonces, tenemos que tener en cuenta la regla de los signos.

Ejemplo

Cuando tenemos que multiplicar un número por otro que sea negativo, hay que escribir el segundo entre paréntesis.

Ejemplo

3. Suma por diferencia

Un caso especial es la suma de dos números por su diferencia. En este caso concreto, tenemos una fórmula:

Esta fórmula se dice que es un producto notable y podemos usar la fórmula o calcular la multiplicación como hemos explicado anteriormente:

Observad que en la última igualdad hemos tenido en cuenta la propiedad conmutativa del producto (es decir, \(a\cdot b = b\cdot a\)) y, por tanto, \(-a\cdot b +b\cdot a = 0\).

Ejemplos

Calculamos una suma por diferencia de dos números:

Suma por diferencia de un número y \(x\):

4. Suma/resta al cuadrado

Recordad que el cuadrado del número \(a\) es \(a^2\) y se calcula multiplicando \(a\) por \(a\):

El cuadrado de la suma \(a+b\) es

El cuadrado de una suma también es un producto notable y la fórmula es la siguiente:

Nota: el sumando \(2ab\) es el producto \(2\cdot a\cdot b\).

Esta fórmula se obtiene al calcular el producto \((a+b)\cdot (a+b)\).

Lo mismo ocurre con la resta al cuadrado, que es otro producto notable:

5. Operaciones con letras

Como dijimos anteriormente, estas reglas o técnicas para multiplicar paréntesis suelen usarse cuando no podemos calcular las operaciones de dentro de los paréntesis porque tienen incógnitas, variables o parámetros (como \(x\), \(a\) y \(b\)).

Recordad que

Los números sólo se pueden sumar/restar con los números.

Las letras (variables, incógnitas, parámetros…) sólo con las letras que sean iguales.

Ejemplos

Sumamos los números con los números y las \(x\) con las \(x\):

Sumamos los números con los números, las \(x\) con las \(x\) y las \(y\) con las \(y\):

Sumamos las \(x\) con las \(x\) y las \(x^2\) con las \(x^2\):

6. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular las siguientes multiplicaciones de paréntesis:

a. \((1+2)\cdot (3+4)\)
b. \((1-3)\cdot (2+1)\)
c. \((3-5)\cdot (7-6)\)
d. \((1+x)\cdot (x+2)\)
e. \((2-x)\cdot (3-x)\)
f. \((1+2x-3)\cdot (3-x+2)\)

Solución:

Aunque se pueden calcular primero las operaciones de los paréntesis y multiplicar después los resultados, multiplicaremos cada uno de los sumandos para practicar.

Primer producto: