La raíz cuadrada de un número primo es irracional
En esta página demostramos la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y la irracionalidad de la raíz cuadrada de cualquier número primo. Antes de ello, proporcionamos algunos conceptos y propiedades que usaremos en las demostraciones.
Índice:
- Natural y entero
- Divisor y coprimo
- Número racional
- Número irracional
- Propiedades necesarias
- Demostración de la irracionalidad de \(\sqrt{2}\)
- Demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de un número primo
1. Natural y entero
Los números naturales, \(\mathbb{N}\), son los que usamos habitualmente para contar: 1, 2, 3, 4... Estos números son positivos.
Los números enteros, \(\mathbb{Z}\), son el 0 y los números naturales con signo positivo y con signo negativo: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...
2. Divisor y coprimo
Divisor
Dados dos números enteros \(a\) y \(d\), se dice que \(d\) es un divisor de \(a\) si existe un número entero \(n\) tal que
Observad que \(d\) es divisor de \(a\) si \(a\) es múltiplo de \(d\); y que el cociente \(a/d\) es un número entero.
Ejemplo
- Los números 2 y 3 son divisores de 6 ya que
- Los números 1 y -1 también son divisores de 6 ya que
Coprimo
Se dice que dos números enteros son coprimos si el único divisor que tienen en común es el 1 y el -1.
Ejemplos
- El 2 y el 3 son coprimos. Además, son números primos.
- El 2 y el 9 son coprimos. Además, el 2 es primo, pero el 9 no lo es.
3. Número racional
Los números racionales son los números reales que se pueden escribir como un cociente (fracción) de números enteros.
Ejemplo
Los números enteros 3 y -4 son racionales:
Recordamos que una fracción es irreducible cuando su numerador y denominador son números coprimos.
Teniendo en cuenta la equivalencia entre fracciones, todo número racional es equivalente a una fracción irreducible.
4. Número irracional
Los números irracionales son aquellos que no son racionales, esto es, los números que no pueden escribirse como un cociente de enteros, o bien, como una fracción irreducible.
Ejemplo
Un ejemplo de número irracional es la raíz cuadrada de 2, número cuya irracionalidad vamos a demostrar a continuación.
5. Propiedades necesarias
Recordamos que un número entero \(a\) es par si es múltiplo de 2, es decir, si puede escribirse como sigue para algún entero \(n\):
Recordad también que el cuadrado de un producto/cociente es el producto/cociente de los cuadrados:
Y que el cuadrado de la raíz cuadrada de un número no negativo es dicho número:
Una propiedad necesaria y clave para la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 es la siguiente:
Un número es par si y solamente si su cuadrado es par:
$$a\text{ es par} \Leftrightarrow a^2\text{ es par}$$
Demostración de esta propiedad en un número es par si y solo si su cuadrado es par.
6. Demostración de la irracionalidad de \(\sqrt{2}\)
Procedemos a demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por reducción al absurdo.
Supongamos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional. Entonces deben existir dos enteros \(a\) y \(b\neq 0\) tales que
Podemos suponer, además, que el cociente \(a/b\) es la fracción irreducible equivalente, es decir, que \(a\) y \(b\) son números coprimos.
Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
Operando, se tiene que \(a^2\) es un número par por ser un múltiplo de 2:
Como \(a^2\) es par, sabemos que \(a\) es también par. Por tanto, existe un entero \(n\) tal que
Su cuadrado es
Sustituimos en la igualdad anterior y operamos:
Por tanto, \(b^2\) también es un número par, por lo que \(b\) es un número par. Como \(b\) es un número par, existe un entero \(m\) tal que
Luego tenemos que \(a = 2·n\) y \(b = 2·m\) son números pares y, por ende, divisibles entre 2. Sin embargo, esto no es posible porque hemos supuesto inicialmente que \(a\) y \(b\) son números coprimos.
Por reducción al absurdo, la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse como una fracción irreducible de enteros, así que no es un número racional.
7. Demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de un número primo
Una importante propiedad es que la raíz cuadrada de un número primo (positivo) es un número irracional.
La demostración que haremos a continuación es similar a la anterior, pero se basa en el teorema fundamental de la aritmética o de la factorización única, el cual establece que
Todo entero positivo mayor que 1 puede escribirse de forma única como un producto de potencias de números primos.
Ejemplos
- La factorización de 36 es
- La factorización de 150 es
Demostración de la irracionalidad de \(\sqrt{p}\) para todo número primo \(p> 1\).
Supongamos que la raíz cuadrada del número primo \(p>1\) es racional. Entonces, existen dos enteros positivos y coprimos \(a\) y \(b\) tales que
Entonces,
Como \(a\) y \(b\) son enteros positivos, pueden escribirse como productos de potencias de números primos:
siendo \(a_i\) y \(b_k\) números primos para todo \(i\) y todo \(k\).
Como \(a\) y \(b\) son coprimos, entonces los números primos de las factorizaciones son distintos, esto es,
Como \(a^2 = p\cdot b^2\), el primo \(p\) es un divisor de \(a^2\) y, por tanto, \(p\) debe estar en la factorización de \(a^2\).
Calculamos el cuadrado de \(a\):
Las potencias de la factorización de \(a^2\) deben tener exponente par. Lo mismo ocurre con la factorización de \(b^2\).
Por un lado, como sabemos que \(p\) está en la factorización de \(a^2\), sabemos, por lo anterior, que su exponente es par.
Por otro lado, el número \(p\cdot b^2\) debe tener una factorización cuya potencia de base \(p\) sea un número impar. Ahora bien, sabemos que este número es un cuadrado (\(p\cdot b^2 = a^2\)), con lo que todos los exponentes deben ser pares, incluido el de \(p\).
Tenemos, pues, que la potencia de base \(p\) en la factorización de \(a^2\) tiene, por un lado, exponente par; y, por otro, exponente impar.
Por reducción al absurdo, \(\sqrt{p}\) no es un número racional.
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ISSN 2659-9899