Un número es par si y solo si su cuadrado es par:

$$ a^2\text{ es par} \Leftrightarrow a\text{ es par} $$

En esta página demostramos que el cuadrado de un número es par si y solo si dicho número es par. Esta propiedad, además de ser interesante por sí misma, es clave para la demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$.

También, demostramos, como consecuencia, que $a^2$ es impar si y solo si $a$ es par (Problema 5); y demostramos que el producto de dos números es un número par si y solo si alguno de los números es par (Problema 6).

Índice:

Par, impar y cuadrado
Técnicas de demostración necesarias
Demostración de "si $a$ es par, entonces $a^2$ es par".
Demostración de "si $a^2$ es par, entonces $a$ es par".
Algunos ejemplos
Problemas resueltos

1. Par, impar y cuadrado

A continuación, recordamos los conceptos y propiedades implicados en la demostración.

Número par

Por definición, un número entero $a$ es par si existe un número entero $n$ tal que

Otra definición, o consecuencia de la anterior, es que un número es par si es divisible entre 2.

Ejemplo

Los números 0, 2, -2, 4 y -4 son pares ya que

Número impar

Por definición, un número $a$ es impar si no es un número par. Los números impares se pueden escribir como sigue, siendo $n$ algún entero:

Ejemplo

Los números 1, -1, 3 y -3 son impares:

Potencia al cuadrado

Sea $a$ un número, se define su cuadrado (potencia "elevado a 2") como el producto de $a$ por sí mismo:

Ejemplo

El cuadrado de 0, de 2 y de -3 es 0, 4 y 9, respectivamente:

Veamos algunas propiedades de los cuadrados:

Cuadrado de un producto

El cuadrado de un producto es el cuadrado de los factores del producto:

Ejemplo

Calculamos el cuadrado de $2\cdot 3$:

Calculamos el producto de los cuadrados:

Cuadrado de la suma

El cuadrado de una suma es

Ejemplo

Calculamos el cuadrado de 1 + 2:

Calculamos el cuadrado aplicando la fórmula:

Finalmente, el producto de números enteros es un entero, lo que implica que el cuadrado de un entero también es un entero.

2. Técnicas de demostración necesarias

En esta página queremos demostrar las dos siguientes implicaciones:

Si $a$ es par, entonces $a^2$ es par.
Si $a^2$ es par, entonces $a$ es par.

Estos dos resultados tienen la forma de una implicación lógica: si A, entonces B.

Técnica 1

Una forma de demostrar la implicación "si A, entonces B" es suponer A y deducir u obtener B.

Técnica 2: reducción al absurdo

Otra forma de demostrar esta implicación es la siguiente:

Suponer que A es cierto.
Suponer que B es falso.
Deducir u obtener una igualdad o propiedad que es falsa, como "A es falso" o "B es cierto".
La deducción es que "si A, entonces B".

La lógica nos indica que, si se obtiene una falsedad (absurdo o contradicción) al realizar una suposición, dicha suposición es falsa. Este procedimiento para realizar demostraciones se denomina reducción al absurdo (reductio ad absurdum).

3. Demostración de "si $a$ es par, entonces $a^2$ es par".

Demostramos esta propiedad según el primer método descrito anteriormente (suponer A y deducir B).

Sea $a$ un número par.

Como $a$ es par, existe un entero $n$ tal que $a = 2\cdot n$.

Calculamos el cuadrado de $a$ (aplicando la propiedad del cuadrado de un producto):

Podemos reescribir $a^2$ como un número par:

El número $k = 2\cdot n^2$ es un número entero por ser el producto de dos enteros, por tanto, $a^2 = 2\cdot k$ es un número par por definición.

4. Demostración de "si $a^2$ es par, entonces $a$ es par".

Demostramos esta propiedad por reducción al absurdo (suponer A y suponer que B es falso).

Sea $a^2$ un número par.

Supongamos que $a$ no es par, lo que implica que $a$ es un número impar y, por tanto, puede escribirse como sigue, para algún entero $n$:

Calculamos el cuadrado de $a$ usando la fórmula para el cuadrado de la suma y el cuadrado del producto:

Por la propiedad distributiva,

El número $k = 2\cdot n^2 + 2\cdot n$ es un número entero, ya que

La suma de enteros es un entero.
El producto de enteros es un entero.
El cuadrado de enteros es un entero.

Por tanto, $a^2$ es un número impar, pues se puede escribir como un número impar:

Recapitulando, tenemos que $a^2$ es impar (habiendo supuesto que $a$ no es par), pero $a^2$ es par por hipótesis inicial. Luego, por reducción al absurdo, $a$ debe ser par.