Recordamos la regla de Barrow y explicamos cómo utilizarla para calcular el área de la región que encierran la gráfica de una función y el eje de abscisas o el área que encierran las gráficas de dos funciones. Con ejemplos y problemas resueltos.
Índice:
Supongamos que \(F\) es una primitiva de \(f\), es decir,
La regla de Barrow establece que
Las aplicaciones de la integral definida son variadas, siendo el cálculo de áreas una de ellas.
Si la función \(f\) es no negativa en el intervalo \([a,b]\), entonces su integral definida es el área que encerrada entre su gráfica y el eje OX:
La representación corresponde a la gráfica de la función
El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo \([0,2]\) es la siguiente integral definida:
Si la función \(f\) es no positiva en el intervalo \([a,b]\), entonces su integral definida es el área encerrada entre su gráfica y el eje X, pero con valor negativo:
La representación corresponde a la gráfica de la función
El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo \([0,2]\) es el valor absoluto de la integral definida:
Recordad la siguiente propiedad de las integrales definidas para \(a\leq b\leq c\):
Si la función \(f\) es negativa y positiva, la región que encierra su gráfica con el eje X está dividida en varias regiones, algunas sobre el eje y otras bajo éste:
La representación corresponde a la gráfica de la función
El área que encierra su gráfica con el eje OX en el intervalo \([0,2]\) esta dividida en dos regiones. Su área es
Tenemos que calcular una integral para cada región porque en la región que está bajo el eje, la integral es negativa.
La primera integral es
La segunda es
Por tanto, el área total de la región es
Consideremos el área de la región encerrada entre las gráficas de dos funciones:
Son las gráficas de las funciones
Estas gráficas intersectan en los puntos
Es fácil ver que el área que encierran viene dada por la integral definida
Observad que en la integral hemos escrito \(f-g\) porque la gráfica de \(f\) está por encima de la de \(g\): el área corresponde al área que encierra la gráfica de \(f\) con el eje X menos el área que encierra la de \(g\) con el eje X.
Además, el área corresponde con la integral porque la región está situada sobre el eje X. De no ser así, debemos calcular el área con un valor absoluto y/o con varias integrales.
Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y el eje X en el intervalo \([-1,1]\):
Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y el eje X en el intervalo \([-1,1]\):
Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y las rectas \(x=-1\) y \(x=2\):
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones
Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones
Más problemas similares: cálculo de áreas (integral definida).