Integral definida y áreas

Recordamos la regla de Barrow y explicamos cómo utilizarla para calcular el área de la región que encierran la gráfica de una función y el eje de abscisas o el área que encierran las gráficas de dos funciones. Con ejemplos y problemas resueltos.

Índice:

  1. Regla de Barrow
  2. Área entre una gráfica y el eje X
  3. Área entre dos gráficas
  4. Problemas resueltos


1. Regla de Barrow

Supongamos que \(F\) es una primitiva de \(f\), es decir,

Recordamos la regla de Barrow y explicamos cómo utilizarla para calcular el área de la región que encierran la gráfica de una función y el eje de abscisas o el área que encierran las gráficas de dos funciones. Con ejemplos y problemas resueltos. Integrales definidas. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

La regla de Barrow establece que

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2. Área entre una gráfica y el eje X

Las aplicaciones de la integral definida son variadas, siendo el cálculo de áreas una de ellas.

Caso 1

Si la función \(f\) es no negativa en el intervalo \([a,b]\), entonces su integral definida es el área que encerrada entre su gráfica y el eje OX:

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La representación corresponde a la gráfica de la función

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El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo \([0,2]\) es la siguiente integral definida:

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Caso 2

Si la función \(f\) es no positiva en el intervalo \([a,b]\), entonces su integral definida es el área encerrada entre su gráfica y el eje X, pero con valor negativo:

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La representación corresponde a la gráfica de la función

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El área que encierra su gráfica con el eje X en el intervalo \([0,2]\) es el valor absoluto de la integral definida:

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Caso 3



Recordad la siguiente propiedad de las integrales definidas para \(a\leq b\leq c\):

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Si la función \(f\) es negativa y positiva, la región que encierra su gráfica con el eje X está dividida en varias regiones, algunas sobre el eje y otras bajo éste:

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La representación corresponde a la gráfica de la función

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El área que encierra su gráfica con el eje OX en el intervalo \([0,2]\) esta dividida en dos regiones. Su área es

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Tenemos que calcular una integral para cada región porque en la región que está bajo el eje, la integral es negativa.

La primera integral es

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La segunda es

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Por tanto, el área total de la región es

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3. Área entre dos gráficas

Consideremos el área de la región encerrada entre las gráficas de dos funciones:

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Son las gráficas de las funciones

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Estas gráficas intersectan en los puntos

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Es fácil ver que el área que encierran viene dada por la integral definida

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Observad que en la integral hemos escrito \(f-g\) porque la gráfica de \(f\) está por encima de la de \(g\): el área corresponde al área que encierra la gráfica de \(f\) con el eje X menos el área que encierra la de \(g\) con el eje X.

Además, el área corresponde con la integral porque la región está situada sobre el eje X. De no ser así, debemos calcular el área con un valor absoluto y/o con varias integrales.


4. Problemas resueltos



Problema 1

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y el eje X en el intervalo \([-1,1]\):

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Solución

Problema 2

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y el eje X en el intervalo \([-1,1]\):

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Solución

Problema 3

Calcular el área de la región encerrada entre la gráfica de \(f\) y las rectas \(x=-1\) y \(x=2\):

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Solución

Problema 4

Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

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Solución

Problema 5

Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de las funciones

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Solución


Más problemas similares: cálculo de áreas (integral definida).




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