Inecuaciones básicas
Explicamos qué son las inecuaciones y cómo resolverlas, desde inecuaciones sencillas a otras más difíciles.
Índice:
- Introducción
- Primeras inecuaciones
- Inecuaciones fáciles
- Inecuaciones difíciles
1. Introducción
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas con una o varias incógnitas.
Los signos de desigualdad posibles son \(>, <, ≥ y >\):
- \(a>b\) significa \(a\) es mayor que \(b\)
- \(a<b\) significa \(a\) es menor que \(b\)
- \(a≥b\) significa \(a\) es mayor o igual que \(b\)
- \(a≤b\) significa \(a\) es menor o igual que \(b\)
Ejemplo
La solución de una inecuación es el conjunto de números que hacen que se cumpla la desigualdad. Normalmente, la solución es un intervalo o una unión de intervalos.
2. Primeras inecuaciones
Los sumandos que suman a un lado pueden pasar al otro lado restando, del mismo modo que hacemos en las ecuaciones.
Ejemplo 1
Como el \(2\) resta, podemos pasarlo sumando al otro lado:
La solución de la inecuación es \(x>3\).
También, podemos escribir la solución como un intervalo:
Representación en la recta real:
Ejemplo 2
Como la \(x\) está restando, puede pasar al otro lado sumando:
El \(2\) pasa al otro lado restando:
La solución de la inecuación es \(x≤1\), o bien,
Representación:
3. Inecuaciones fáciles
Se puede multiplicar una ecuación por un número distinto de \(0\), pero si el signo es negativo, hay que cambiar el signo de desigualdad.
Ejemplo
Multiplicamos la desigualdad por \(2\):
Multiplicamos la desigualdad por \(-2\) (hay que cambiar la desigualdad):
Observad que la desigualdad sería falsa si no cambiamos el signo de desigualdad.
Cuando la incógnita tiene coeficiente (número que la multiplica), tenemos que pasarlo al otro lado dividiendo. Si el coeficiente es negativo, hay que cambiar la desigualdad.
Ejemplo 1
Pasamos el \(2\) al otro lado:
Pasamos el \(3x\) de la derecha al otro lado:
El coeficiente de la \(x\) es \(-2\). Puede pasar al otro lado dividiendo, pero tenemos que cambiar el signo de desigualdad:
La solución de la inecuación es \(x≥ -7/2\).
Representación:
Ejemplo 2
Pasamos el \(1\) al otro lado:
Pasamos la \(x\) al lado izquierdo:
La solución de la inecuación es \(x> 1/4\).
Representación:
4. Inecuaciones difíciles
Cuando tenemos fracciones con la incógnita en el denominador, el procedimiento se complica. Esto se debe a que el denominador puede ser positivo o negativo según los valores que toma \(x\) y, por tanto, no puede pasar al otro lado (porque si fuera negativo, habría que cambiar la desigualdad).
Ejemplo 1
Supongamos que el denominador es positivo, es decir, \(x-2>0\). Entonces, puede pasar al otro lado sin cambiar la desigualdad:
Pero hemos supuesto que \(x-2>0\), es decir, \(x>2\).
Por tanto, tiene que cumplirse \(x>2\) y \(x>6\):
Las únicas \(x\) que cumplen ambas condiciones son las que cumplen la segunda: \(x>6\).
Ahora supongamos que \(x-2<0\). Tenemos que cambiar la desigualdad cuando pasa el denominador al otro lado:
Pero hemos supuesto que \(x-2<0\), es decir, \(x<2\). Se deben cumplir \(x<2\) y \(x<6\):
Es decir, son las que cumplen \(x<2\).
Uniendo ambos resultados, la solución de la inecuación son las \(x\) que cumplen \(x>6\) y las \(x\) que cumplen \(x<2\):
Representación:
Ejemplo 2
La solución de esta inecuación es el conjunto de números que hacen que la fracción sea negativa.
Una fracción es negativa cuando el signo del numerador es distinto al del denominador.
Por la regla de los signos, tenemos dos posibilidades:
- Numerador positivo y denominador negativo.
- Numerador negativo y denominador positivo.
Primera opción
La solución de la primera inecuación es \(x>-2\). La de la segunda es \(x <1\). Es decir, son las \(x\) tales que \(-2< x < 1\):
Segunda opción
La solución de la primera inecuación es \(x<-2\). La de la segunda es \(x >1\). No pueden darse ambas al mismo tiempo:
Por tanto, esta opción nunca ocurre. La solución de la inecuación inicial es la obtenida en la primera opción:
Ejemplo 3
Pasamos el \(2\) al lado izquierdo:
Tenemos que calcular los \(x\) para los que el polinomio \(x^2-x-2\) es positivo. Para ello, resolvemos la siguiente ecuación cuadrática:
El polinomio es \(0\) cuando \(x=2\) ó \(x = -1\). Estos valores dividen la recta real \(3\) intervalos:
En cada uno de los intervalos, el signo del polinomio es el mismo. Podemos calcular este signo dando un valor de cada intervalo a \(x\):
Por tanto, el signo del polinomio es
Por tanto, la solución de la inecuación es
Ejemplo 4
Pasamos el \(1\) al lado izquierdo y operamos:
La solución de la inecuación es el conjunto de números que hacen que la fracción sea negativa.
Al igual que en un ejemplo anterior, tenemos dos opciones:
- Numerador positivo y denominador negativo.
- Numerador negativo y denominador positivo.
Primera opción
Tenemos que estudiar el signo del numerador del modo que hicimos en el ejemplo anterior (resolviendo la ecuación cuadrática). El numerador es positivo cuando \(x<-1\) y cuando \(x>1\).
El denominador es negativo cuando \(x<0\).
Uniendo ambas condiciones, tenemos \(x<-1\).
Segunda opción
El numerador es negativo cuando \(-1<x<1\).
El denominador es positivo cuando \(x>0\).
Uniendo ambas condiciones, tenemos \(0<x<1\).
Por tanto, la solución de la inecuación inicial es
Más ejemplos en inecuaciones resueltas.