¿La hipotenusa es mayor que los catetos?
En esta página respondemos a la pregunta ¿es la hipotenusa mayor que los catetos de un triángulo rectángulo? La respuesta es la siguiente:
La hipotenusa siempre es MAYOR que los catetos.
A continuación, recordamos algunos conceptos, proporcionamos ejemplos y demostramos la afirmación anterior.
Índice:
- Introducción
- Más ejemplos
- Demostración
- Diagonal del rectángulo
1. Introducción
Dado un triángulo rectángulo de catetos \(a\) y \(b\) e hipotenusa \(h\), sabemos, por el teorema de Pitágoras,
Recordad que la hipotenusa es el lado situado frente al ángulo recto (ángulo de 90 grados) y los dos otros lados son los catetos.
Ejemplo
Aplicando el teorema de Pitágoras, la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 mide 5:
Como era de esperar, la hipotenusa mide más que sus catetos: 5> 3 y 5> 4.
Ahora bien,
- ¿Es siempre la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos? Sí.
- ¿La hipotenusa puede medir lo mismo que alguno de los catetos? No.
- ¿La hipotenusa puede ser menor que alguno de los catetos? No.
La respuesta a estas preguntas es la que vamos a demostrar en esta página, la cual adelantamos:
La hipotenusa siempre es MAYOR que cualquiera de los catetos
2. Más ejemplos
Mas ejemplos de triángulos rectángulos que muestran que, en efecto, la hipotenusa es mayor que los catetos:
- La hipotenusa del triángulo de catetos 5 y 12 mide 13.
- La hipotenusa del triángulo de catetos 7 y 24 mide 25.
- La hipotenusa del triángulo de catetos 20 y 21 mide 29.
- La hipotenusa del triángulo de catetos 33 y 56 mide 65.
- La hipotenusa del triángulo de catetos 1 y 1 mide \(\sqrt{2} > 1\).
3. Demostración
A continuación, demostramos que la hipotenusa siempre es mayor que los catetos.
Sean \(h\) la hipotenusa y \(a\) y \(b\) los catetos de un triángulo rectángulo, por Pitágoras tenemos
De esta igualdad tenemos las dos siguientes desigualdades:
Estas desigualdades son evidentes: la suma de dos sumandos positivos (\(a\) y \(b\) no pueden ser 0) siempre es mayor que cualquiera de esos sumandos.
De estas desigualdades tenemos las siguientes:
Finalmente, solo tenemos que hacer la raíz cuadrada:
Del mismo modo, \(b < h\).
Debemos explicar que el paso anterior es correcto para disipar cualquier duda. Esto es, vamos a demostrar, por reducción al absurdo, el siguiente paso para \(x,y≥0\):
Supongamos, pues
Usando las propiedades de las raíces cuadradas,
De donde \(x ≥ y\), lo cual contradice la hipótesis porque \(x\) no es mayor que \(y\) ni puede ser igual a \(y\).
4. Diagonal del rectángulo
Como consecuencia directa, podemos decir que las diagonales de un cuadrado o de un rectángulo son MAYORES que cualquiera de los lados de tales polígonos.
En efecto, cada una de estas diagonales es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados del cuadrado/rectángulo. Por tanto, la diagonal siempre es mayor.
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ISSN 2659-9899