Desigualdad triangular

$$ |x+y| \leq |x|+|y|$$

En esta página demostramos la desigualdad triangular o de Minkowski para valores de \(\mathbb{R}\), es decir, que el valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. Para poder demostrarlo, veremos primero algunas propiedades que necesitamos. Aprovechando la ocasión, demostramos también que la raíz de una suma es menor o igual que la suma de sus raíces, es decir,

$$\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x} + \sqrt{y}$$

Índice:

1. Ejemplo
2. Valor absoluto menor que un número
3. Propiedad del valor absoluto
4. Demostración de \(|x+y| ≤ |x|+|y|\)
5. Desigualdad triangular para raíces: \(\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\) para \(x,y\geq 0\)

1. Ejemplo

Veamos un ejemplo de la desigualdad triangular:

2. Valor absoluto menor que un número

Nos interesa la siguiente propiedad del valor absoluto:

\(|a|≤ b\) si y sólo si \(-b ≤ a ≤ b\)

Es decir,

3. Propiedad del valor absoluto

Finalmente, necesitamos otra propiedad del valor absoluto:

Esta propiedad es evidente, pero la usaremos más adelante.

4. Demostración

Para todo par \(x\) e \(y\),

Sumando las desigualdades,

Es decir,

Ahora, aplicamos la propiedad vista en el segundo aparatado (si \(-b ≤ a ≤ b\) entonces \(|a|≤ b\)) y tenemos

5. Desigualdad triangular para raíces

\(\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\) para \(x,y\geq 0\)

Obviamente, \(x,y ≥ 0\) para poder escribir sus raíces cuadradas.

Para demostrar esta desigualdad, calculamos el cuadrado de la suma de las raíces:

Por tanto, tenemos

Ahora, tomando raíces cuadradas*, tenemos

*Demostramos a continuación que

Supongamos que la implicación no es cierta, por tanto,

Multiplicando por \(\sqrt{a}\) y usando que \(\sqrt{a}> \sqrt{b}\) tenemos

Luego tenemos que \(a > b\), lo cual contradice la hipótesis inicial.

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