En esta página demostramos la desigualdad triangular o de Minkowski para valores de \(\mathbb{R}\), es decir, que el valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos. Para poder demostrarlo, veremos primero algunas propiedades que necesitamos. Aprovechando la ocasión, demostramos también que la raíz de una suma es menor o igual que la suma de sus raíces, es decir,
$$\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x} + \sqrt{y}$$
Índice:
Veamos un ejemplo de la desigualdad triangular:
Sean \(x = 2\) e \(y = -3\).
El valor absoluto de su suma es
La suma de sus valores absolutos es
Como \(1 ≤ 5\), se verifica la desigualdad:
Nos interesa la siguiente propiedad del valor absoluto:
\(|a|≤ b\) si y sólo si \(-b ≤ a ≤ b\)
Es decir,
Finalmente, necesitamos otra propiedad del valor absoluto:
Esta propiedad es evidente, pero la usaremos más adelante.
Para todo par \(x\) e \(y\),
Sumando las desigualdades,
Es decir,
Ahora, aplicamos la propiedad vista en el segundo aparatado (si \(-b ≤ a ≤ b\) entonces \(|a|≤ b\)) y tenemos
Obviamente, \(x,y ≥ 0\) para poder escribir sus raíces cuadradas.
Sean \(x = 1\) e \(y = 2\).
La raíz de la suma es
La suma de las raíces es
Se cumple la desigualdad:
Para demostrar esta desigualdad, calculamos el cuadrado de la suma de las raíces:
Por tanto, tenemos
Ahora, tomando raíces cuadradas*, tenemos
*Demostramos a continuación que
Supongamos que la implicación no es cierta, por tanto,
Multiplicando por \(\sqrt{a}\) y usando que \(\sqrt{a}> \sqrt{b}\) tenemos
Luego tenemos que \(a > b\), lo cual contradice la hipótesis inicial.