Valor absoluto
Definimos valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y ejercicios resueltos.
Índice:
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Definición
y ejemplos
-
Función valor absoluto
- Algunas propiedades
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Problemas resueltos
1. Definición y ejemplos
El valor absoluto de un número \(a\) se escribe como \(|a|\) y es su valor numérico sin signo.
Ejemplos
![calculamos algunos valores absolutos: |-1|=1, |-2.5|=2.5, |0|=0, |3.4|=3.4 y |6|=6 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/T1.png)
El valor absoluto de \(x\), \(|x|\), es \(-x\) si \(x\) es negativo y es \(x\) si \(x\) es positivo ó \(0\):
![el valor absoluto de x es -x si x<0 y es x si x≥0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/T1b.png)
2. Función valor absoluto
La función valor absoluto es la función \(f:\mathbb{R}\to [0,+\infty)\) dada por
![f(x) = |x| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/T1c.png)
También, podemos definir la función por partes:
![f(x) = -x si x<0 y f(x) = x si x≥0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/T2.png)
La gráfica de la función es
![gráfica de la función valor absoluto f(x) = |x| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/T3.png)
Esta función es continua en todos los reales y derivable en todos los reales excepto en \(x=0\).
3. Algunas propiedades
Veamos algunas de las propiedades más importantes del valor absoluto:
Propiedad 1
El valor absoluto de un número es siempre no negativo:
![el valor absoluto es siempre no negativo: |x|≥0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr1.png)
Propiedad 2
El valor absoluto de un número \(x\) es \(0\) si, y sólo si, \(x=0\):
![el valor absoluto es 0 si, y sólo si, x=0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr1b.png)
Propiedad 3
El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de sus factores:
![valor absoluto del producto: |x·y|=|x|·|y| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr2.png)
Análogo para el cociente:
![valor absoluto del cociente: |x/y|=|x|/|y| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr3.png)
Ejemplo:
![|-2·3| = 6 = |-2|·|3| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej3.png)
Propiedad 4
Valor absoluto del opuesto:
![|-x|=|x| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr4.png)
Ejemplo:
![|-3| = 3 = |3| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej4.png)
Propiedad 5
Desigualdad triangular (valor absoluto de la suma):
![|x+y|≤|x|+|y| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr5.png)
Ejemplo:
![|-3+1| = 2 ≤ |-3|+|1| = 4 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej5.png)
Propiedad 6
Igualdad entre valores absolutos:
![si |x| = |y|, entonces x = -y ó x = y Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr6.png)
Ejemplo:
![|-3|=|3|, |2|=|2| Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej6.png)
Propiedad 7
Valor absoluto como una raíz:
![|x| = raíz(x^2) Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr7.png)
Ejemplo:
![|-2| = 2 = raíz((-2)^2) Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej7.png)
Propiedad 8
Dos propiedades importantes por su aplicación en las inecuaciones:
![Si |x|≤k, entonces -k≤x≤k. Si |x|≥k, entonces x≥k ó x≤-k Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr8.png)
Ejemplo:
![como |-3|≤4, entonces -4≤-3≤4 y como |-3|≥1, 3≥1 ó 3≤-4 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej8.png)
Propiedad 9
El valor absoluto como un máximo:
![|x| = máximo{x,-x} Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Pr9.png)
Ejemplo:
![|-3| = máximo{-3,3} = 3 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/Ej9.png)
4. Problemas resueltos
Problema 1
Calcular los siguientes valores absolutos:
![valores absolutos del problema 1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1.png)
Solución
El valor absoluto de \(-3\) es \(3\):
![el valor absoluto de -3 es 3 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-1.png)
El valor absoluto de \(-8\) es \(8\):
![el valor absoluto de -8 es 8 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-2.png)
El valor absoluto de \(x^2\) es \(x^2\) porque el cuadrado de cualquier número (real) es no negativo:
![el valor absoluto de x^2 es x^2 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-3.png)
El valor absoluto de \(x^2+1\) es \(x^2+1\) porque \(x^2+1\) siempre es mayor o igual que \(1\):
![el valor absoluto de x^2+1 es x^2+1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-4.png)
El valor absoluto de \(x-1\) es
![el valor absoluto |x-1| es x-1 si x-1≥0 y es -(x-1) si x-1<0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-5.png)
Es decir,
![el valor absoluto |x-1| es x-1 si x≥1 y es 1-x si x<1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P1-6.png)
Problema 2
Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto:
![|x-3| = 2 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P2.png)
Solución
Supongamos que \(x-3\) es mayor o igual que \(0\):
![x-3≥0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P2-1.png)
Esto ocurre cuando \(x \geq 3\).
El valor absoluto de \(x-3\) es \(x-3\), así que la ecuación que tenemos es
![resolvemos la ecuación x-3=2, obteniendo x=5 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P2-2.png)
Supongamos ahora que \(x-3\) es menor que \(0\):
![x-3<0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P2-3.png)
Esto ocurre cuando \(x< 3\).
El valor absoluto de \(x-3\) es \(-(x-3)\), así que la ecuación que tenemos es
![resolvemos la ecuación -(x-3)=2, obteniendo x=1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P2-4.png)
La ecuación tiene dos soluciones: \(x=5\) y \(x=1\).
Problema 3
Demostrar la propiedad siguiente:
![si |x|=|y|, entonces x=-y ó x=y Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P3.png)
Solución
Escribimos el valor absoluto en función del signo:
![escribios los valores absolutos de x y de y en función de su signo Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P3-1.png)
Por tanto, podemos escribir la igualdad de 4 formas posibles:
![-x=y si x<0, y≥0; -x=-y si x<0, y<0; x=y si x,y≥0; x=-y si x≥0, y<0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P3-2.png)
Es decir, \(x=-y\), o bien, \(x = y\).
Problema 4
Resolver la siguiente inecuación con valor absoluto:
![inecuación con valor absoluto: |x-3|≤2 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4.png)
Solución
Por una propiedad que vimos,
![-2 ≤ x-3 ≤ 2 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4-1.png)
Por un lado, tenemos
![resolvemos la inecuación -2≤ x-3, obteniendo 1≤x Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4-2.png)
Por otro lado, tenemos
![resolvemos la inecuación x-3≤2, obteniendo x≤5 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4-3.png)
Como deben cumplirse ambas relaciones, las soluciones de la inecuación son las \(x\) mayores o iguales que \(1\) y menores o iguales que \(5\):
![x pertenece a la intersección de los intervalos [1,+∞) y (-∞,5] Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4-4.png)
Es decir, las soluciones de la ecuación son las \(x\) que cumplen \(1\leq x \leq 5\):
![x pertenece al intervalo [1,5] Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P4-5.png)
Problema 5
Resolver la siguiente inecuación con valor absoluto:
![inecuación con valor absoluto: |3x-1|≥1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P5.png)
Solución
Por una propiedad que vimos,
![3x-1≤1 ó 3x-1≤-1 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P5-1.png)
Primer caso:
![resolvemos la inecuación 3x-1≥1, obteniendo x≥2/3 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P5-2.png)
Segundo caso:
![resolvemos la inecuación 3x-1≤-1, obteniendo x≤0 Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P5-3.png)
Por tanto, las soluciones de la inecuación son las \(x\) mayores o iguales que \(2/3\) ó las \(x\) menores o iguales que \(0\):
![x pertenece a la unión de los intervalos (-∞,0] y [2/3,+∞) Definimos el valor absoluto y proporcionamos algunas propiedades, ejemplos y problemas resueltos. ESO. Álgebra básica.](https://www.problemasyecuaciones.com/algebra/valor-absoluto/P5-4.png)