La raíz cuadrada: √

En esta página definimos la raíz cuadrada de un número (no negativo) y proporcionamos las propiedades de las raíces cuadradas (multiplicación, división y cuadrado de raíces cuadradas). Con ejemplos y problemas resueltos.

Índice:

1. Definición y ejemplos
2. Producto y cociente de raíces
3. Cuadrado de una raíz
4. Raíz de un cuadrado
5. Problemas resueltos

1. Definición y ejemplos

Definición

La raíz cuadrada de un número \(a\) se escribe como \(\sqrt{a}\) y es el número \(b\) cuyo cuadrado es \(a\), es decir, \(b^2 = a\):

Ejemplos

• 2 es una raíz cuadrada de 4:

• -2 también es una raíz cuadrada de 4:

• 3 y -3 son raíces cuadradas de 9:

Signo ±

Los números positivos tienen dos raíces cuadradas: el mismo número, pero con signos distintos (+ y -) y, por eso, normalmente se escribe el signo \(\pm\):

Raíz de un negativo

El cuadrado de un número nunca puede ser negativo por la regla de los signos, así que no tiene sentido considerar la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo

La raíz cuadrada de -4 sería el número \(b\) cuyo cuadrado es -4 (es decir, \(b^2 = -4\)), pero no hay un número cuyo cuadrado sea -4:

Podemos obtener -4 como el producto \(-2\cdot 2\), pero este producto no es un cuadrado.

Por tanto:

No existen las raíces cuadradas de los números negativos.

Nota: técnicamente, sí existen las raíces de números negativos, pero son números imaginarios, lo cuales se estudian en un nivel más avanzado. Más información en ¿raíces de números negativos?.

2. Producto y cociente de raíces

Producto de raíces

La raíz cuadrada de un producto de números no negativos es el producto de las raíces cuadradas de dichos números:

Ejemplo

Raíz cuadrada de 16 como un producto de raíces:

Cociente (fracción) de raíces

La raíz cuadrada de un cociente de números no negativos es el cociente de las raíces cuadradas de dichos números:

Ejemplo

Raíz cuadrada de la fracción 16/4:

3. Cuadrado de una raíz

El cuadrado de la raíz cuadrada de un número no negativo es dicho número:

Ejemplos

• Cuadrado de la raíz cuadrada de 2:

• Cuadrado de la raíz cuadrada de 3:

Esta propiedad es fácil de entender aplicando la propiedad del producto de raíces y la definición de raíz cuadrada:

Ejemplo

4. Raíz de un cuadrado

La raíz cuadrada del cuadrado de un número no negativo es dicho número:

Ejemplos

• La raíz cuadrada del cuadrado de 2 es 2:

• La raíz cuadrada del cuadrado de 3 es 3:

Esta propiedad es una consecuencia directa de la definición porque la raíz cuadrada de \(a^2\) es el número cuyo cuadrado es \(a^2\) y, lógicamente, dicho número es \(a\), ya que \(a^2 = a^2\).

Como consecuencia, podemos introducir o extraer el cuadrado en/de la raíz cuadrada:

Nota: para aplicar esta propiedad cuando \(a\) sea negativo, tenemos que usar el valor absoluto:

5. Problemas resueltos

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