¿Se puede dividir entre 0? ¿El resultado es infinito?

En esta página proporcionamos algunos ejemplos que justifican que no podemos dividir entre \(0\) y explicamos el origen de la falsa creencia de que un número entre \(0\) es infinito.

Índice:

1. Recordatorio de la división
2. Ejemplos de contradicción/absurdo al dividir entre \(0\)
3. El falso mito de que un número entre \(0\) es infinito

1. Recordatorio de la división

Recordamos que dados dos números \(a\) y \(b\neq 0\), la división de \(a\) entre \(b\) es el único número \(c\) tal que \(a = b\cdot c\), es decir,

Por ejemplo,

2. Ejemplos de contradicción al dividir entre \(0\)

Veamos algunos ejemplos de los absurdos que se obtienen cuando consideramos la división entre \(0\).

Ejemplo 1

Partiendo de la igualdad \(a=0\), sumando \(1\) y dividiendo entre \(a\) en ambos lados, obtenemos un absurdo:

Esta contradicción surge en la cuarta igualdad, cuando hemos dividido entre \(a = 0\).

Ejemplo 2

Partiendo de la igualdad \(a-b=0\), llegamos al absurdo \(1 = 0\):

El absurdo surge en la quinta igualdad cuando se divide entre \(a-b = 0\).

Ejemplo 3

Este ejemplo se utiliza típicamente para encontrar el error que lleva a la contradicción. Hay que tener en cuenta el producto notable suma por diferencia, \((a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2\):

La contradicción aparece porque en la séptima igualdad se divide entre \(a-b=0\).

Ejemplo 4

Dados dos números reales cualesquiera \(a\) y \(b\neq 0\), existe un único \(c\) tal que \(a = b\cdot c\). Esto es lo que vimos anteriormente:

Si suponemos que \(b\) puede ser \(b=0\), entonces tenemos que para cualquier número \(a\) existe un único número \(c\) tal que \(a = 0·c = 0\), lo que significa que cualquier número real es igual a \(0\), lo cual es falso.

Conclusión

Como conclusión, aunque pueda pensarse que tendría sentido la división entre cero, esta operación no es posible matemáticamente porque conduce a contradicciones matemáticas, como muestran los ejemplos anteriores.

3. El falso mito de que un número entre \(0\) es infinito

Si queda claro que no se puede dividir entre \(0\), ¿por qué alguna gente dice que un número entre \(0\) es infinito? Por ejemplo,

Esto se debe a que cuanto más se aproxima el divisor a \(0\), más grande es el resultado. Por ejemplo,

• 1 entre 2 es 0,5
• 1 entre 1 es 1
• 1 entre 0,5 es 2
• 1 entre 0,3  es 3,3333...
• 1 entre 0,1 es 10
• 1 entre 0,01 es 100
• 1 entre 0,001 es 1.000
• 1 entre 0,0001 es 10.000

Entonces, sería lógico pensar que si el divisor es \(0\), el resultado de la división es infinito.

En mátemáticas más avanzadas, en concreto, en el cálculo diferencial, dada una función \(y = f(x)\), el límite de dicha función en \(x = a\) se denota por

Y puede verse como el número al que se aproxima \(y = f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x = a\).

Por ejemplo, consideremos la función \(f(x) = \frac{2}{x^2}\) cuya gráfica es la siguiente:

Observando la gráfica se aprecia claramente que cuando \(x\) se aproxima a \(0\) los valores \(y = f(x)\) crecen mucho. Por ejemplo,

La función \(f\) crece infinitamente cuando \(x\) se aproxima a \(0\), por lo que se dice que la función tiene límite infinito:

El cálculo de límites a veces resulta un poco complicado, razón por la que se utilizan ciertas reglas que SÓLO tienen sentido cuando trabajamos con límites. Una de estas reglas es que un número distinto de \(0\) dividido entre \(0\) es infinito. Por ejemplo, usamos esta regla para calcular el límite anterior:

Nota: técnicamente, la igualdad anterior no es correcta (por eso la escribimos en rojo).

Veamos otro ejemplo:

Es importante remarcar que esta regla exige que sea un número DISTINTO de \(0\) dividido entre \(0\), ya que \(0/0\) es una indeterminación (indeterminación 0/0) que en cada límite puede tener un resultado distinto.

Por ejemplo,

Y, sin embargo, si sustituimos \(x=0\) en los límites, tenemos la fracción \(0/0\):

Conclusión

Como conclusión, el resultado de dividir entre cero no es infinito. De hecho, ni siquiera está permitida la operación "dividido entre \(0\)", como hemos visto. Ahora bien, en el cálculo diferencial se utiliza la regla "un número entre \(0\) es infinito" sólo para referirse a que el resultado de dividir entre números cercanos a cero es un número muy grande.

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ISSN 2659-9899