Ecuaciones con fracciones
Las fracciones, como números que son, pueden aparecer en las ecuaciones, pero son un engorro, ya que las operaciones con fracciones cuestan más de realizar. Por esta razón, aconsejamos eliminar las fracciones antes de comenzar a resolver la ecuación. En esta página explicamos cómo eliminar las fracciones de las ecuaciones.
Índice:
- Recordatorio sobre fracciones
- Fracciones con igual denominador
- Fracciones con distinto denominador
- Ecuaciones resueltas
1. Recordatorio sobre fracciones
Debemos recordar algunas propiedades de las fracciones.
El numerador de la fracción \(a/b\) es \(a\) y el denominador es \(b\). La fracción \(a/b\) representa el cociente de la división \(a\) entre \(b\).
Si multiplicamos una fracción por su denominador, la fracción desaparece y sólo queda el numerador. Por ejemplo,
El número que multiplica una fracción puede escribirse en su numerador. Por ejemplo,
Si tenemos un producto de números en el numerador y otro en el denominador, los factores comunes se cancelan. Por ejemplo,
Finalmente, podemos extraer factores del numerador:
2. Fracciones con igual denominador
Si tenemos una ecuación con fracciones con el mismo denominador, para eliminar las fracciones de la ecuación sólo tenemos que multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el denominador.
Ejemplo:
Multiplicamos todos los sumandos por el único denominador 2 y los denominadores desaparecen:
Resolver la ecuación es muy sencillo ahora:
3. Fracciones con distinto denominador
Si tenemos una ecuación con denominadores distintos, podemos multiplicar TODOS los sumandos de la ecuación por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) de los denominadores.
Recordad que para calcular el mcm de dos números tenemos que descomponerlos en un producto de potencias de números primos y escoger los factores comunes y no comunes al mayor exponente.
Ejemplo:
Podemos reescribir la ecuación extrayendo las \(x\) del numerador:
Tenemos los denominadores 2 y 3. Como son números primos, su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos todos los sumandos por 6:
Resolvemos la ecuación:
4. Ecuaciones resueltas
A continuación, resolvemos algunas ecuaciones con una o varias fracciones.
Ecuación 1
Solución:
Multiplicamos la ecuación por 3 para eliminar el denomiador:
Ya no tenemos fracciones. Resolvemos la ecuación obtenida:
La solución de la ecuación es \(x = 6\).
Ecuación 2
Solución:
Podemos multiplicar toda la ecuación por 2 para eliminar la fracción:
Ya no tenemos fracciones. Resolvemos la ecuación:
La solución de la ecuación es \(x = 3\).
Ecuación 3
Solución:
Tenemos dos denominadores distintos y su mínimo común múltiplo es 6, así que multiplicamos toda la ecuación por 6:
Podemos extraer los numeradores de las fracciones e introducir los 6 en los numeradores:
Observad que hemos escrito \(x+1\) entre paréntesis porque el numerador es una suma.
Simplificamos las fracciones:
Ya no tenemos fracciones. Resolvemos la ecuación:
La solución de la ecuación es \(x = 2\).
Ecuación 4
Solución:
Tenemos dos denominadores (2 y 4) y su mínimo común múltiplo es 4, así que multiplicamos toda la ecuación por 4:
Ya no tenemos fracciones. Resolvemos la ecuación:
La solución de la ecuación es \(x = 3\).
Ecuación 5
Solución:
Lo primero que podemos hacer es eliminar el paréntesis. Como el paréntesis está multiplicado por 2, se elimina al multiplicar todos sus sumandos por 2:
La fracción \(2/10\) es igual a \(1/5\) (son fracciones equivalentes):
El mínimo común múltiplo de los denominadores (3 y 5) es 15. Por tanto, multiplicamos toda la ecuación por 15:
Ya no tenemos fracciones. Resolvemos la ecuación:
La solución de la ecuación es \(x = 5\).
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