Problemas resueltos de
progresiones aritméticas
En esta página repasamos los conceptos y fórmulas básicas de las sucesiones o progresiones aritméticas y resolvemos \(15\) problemas.
Índice:
- Progresión, términos y diferencia
- Monotonía (creciente o decreciente)
- Término o fórmula general
- Suma de los primeros términos
- Problemas resueltos
1. Progresión, términos y diferencia
Una progresión aritmética (o sucesión aritmética) es una secuencia ordenada de números llamados términos, de modo que cada término se calcula sumando (o restando) un número (llamado diferencia, \(d\)) al término anterior.
Ejemplo
La sucesión de los números impares es
- El primer término es \(a_1 = 1\).
- El segundo término es \(a_2 = 3\).
- El tercer término es \(a_3 = 5\).
- El cuarto término es \(a_4 = 7\).
La diferencia de esta sucesión es \(d = 2\). Observad que cada término es el resultado de sumarle \(2\) al término anterior:
Cada número de la progresión se denomina término. Escribimos \(a_n\) para indicar el término \(n\)-ésimo de la progresión, es decir, el término de la posición \(n\).
La diferencia suele denotarse por la letra \(d\) y se calcula restando dos términos consecutivos:
La diferencia es constante en toda la progresión, así que no importa qué par de términos restamos para calcularla, siempre que sean consecutivos: cualquier término menos el término que le precede.
2. Monotonía (creciente o decreciente)
- Si la diferencia es positiva, \(d>0\), cada término es mayor que el anterior. Se dice que es una progresión monótona creciente.
- Si la diferencia es negativa, \(d<0\), cada término es menor que el anterior. Se dice que es una progresión monótona decreciente.
- Si la diferencia es \(d=0\), todos los términos son iguales. Se dice que es una progresión constante.
Ejemplo
- La progresión \(1\), \(3\), \(5\), \(7\),... tiene diferencia \(d=2 >0\). Es montóna creciente.
- La progresión \(10\), \(8\), \(6\), \(4\),... tiene diferencia \(d=-2 <0\). Es monótona decreciente.
- La progresión \(1\), \(1\), \(1\), \(1\),... es constante.
3. Término o fórmula general
Llamamos término general a la fórmula que proporciona el término \(n\)-ésimo de la sucesión:
Si conocemos el primer término \(a_1\) y la diferencia \(d\), podemos calcular cualquier término.
Ejemplo
La progresión de los números impares (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\),...) tiene diferencia \(d=2\) y su primer término es \(a_1=1\), así que el término general es
Calculamos los términos \(a_3\), \(a_5\) y \(a_9\) a partir del término general:
4. Suma de los primeros términos
Podemos calcular la suma de los primeros \(n\) términos de una progresión aritmética mediante la fórmula
La progresión de los números pares es
Calculamos la suma de los \(5\) primeros términos mediante la fórmula:
En efecto, podemos comprobar que la suma es \(30\):
5. Problemas resueltos
Problema 1
Determinar si las siguientes progresiones son aritméticas:
En caso afirmativo, calcular la diferencia de cada progresión.
Problema 2
Calcular los \(5\) primeros términos de la sucesión aritmética cuyo término general es
Problema 3
El término general de una sucesión aritmética es
¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?
Problema 4
El término general de una sucesión aritmética es
¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?
Problema 5
El término general de una sucesión aritmética es
¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?
Problema 6
El término general de una sucesión aritmética es
¿Cuál es la suma de sus \(4\) primeros términos?
Problema 7
Calcular la diferencia y el término general de las siguientes progresiones aritméticas:
Problema 8
Calcular la suma de los primeros \(5\) términos de las siguientes progresiones:
Problema 9
Alberto tiene un armario con \(10\) cajones numerados del \(1\) al \(10\) y guarda \(n\) objetos en el cajón número \(n\).
Después de haber usado los \(10\) cajones, ¿cuántos objetos ha guardado Alberto en total?
Problema 10
Los primeros términos de la llamada sucesión de Fibonacci son los siguientes:
¿Es una sucesión aritmética? En caso afirmativo, ¿cuál es la diferencia?
Problema 11
El sexto término de una sucesión aritmética es \(a_6 = 36\) y el séptimo término es \(a_7 = 42\). ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Y la diferencia?
Problema 12
El tercer término de una sucesión aritmética es \(a_3 = 14\) y el quinto término es \(a_5 = 20\). ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Y la diferencia?
Problema 13
El quinto término de una sucesión aritmética es \(a_5 = 45\) y la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión es \(S_5 = 115\). ¿Cuál es el primer término?
Problema 14
El primer término de una sucesión aritmética es \(a_1 = 3\) y la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión es \(S_5 = 25\). ¿Cuál es el quinto término?
Problema 15
El quinto término de una sucesión aritmética es \(a_5 = 0\) y su diferencia es \(d = -3\).
¿Cuál es la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión?
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