Problemas resueltos de

progresiones aritméticas

En esta página repasamos los conceptos y fórmulas básicas de las sucesiones o progresiones aritméticas y resolvemos \(15\) problemas.

Índice:

  1. Progresión, términos y diferencia
  2. Monotonía (creciente o decreciente)
  3. Término o fórmula general
  4. Suma de los primeros términos
  5. Problemas resueltos


1. Progresión, términos y diferencia

Una progresión aritmética (o sucesión aritmética) es una secuencia ordenada de números llamados términos, de modo que cada término se calcula sumando (o restando) un número (llamado diferencia, \(d\)) al término anterior.

Ejemplo

La sucesión de los números impares es

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  • El primer término es \(a_1 = 1\).
  • El segundo término es \(a_2 = 3\).
  • El tercer término es \(a_3 = 5\).
  • El cuarto término es \(a_4 = 7\).

La diferencia de esta sucesión es \(d = 2\). Observad que cada término es el resultado de sumarle \(2\) al término anterior:

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Cada número de la progresión se denomina término. Escribimos \(a_n\) para indicar el término \(n\)-ésimo de la progresión, es decir, el término de la posición \(n\).

La diferencia suele denotarse por la letra \(d\) y se calcula restando dos términos consecutivos:

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La diferencia es constante en toda la progresión, así que no importa qué par de términos restamos para calcularla, siempre que sean consecutivos: cualquier término menos el término que le precede.


2. Monotonía (creciente o decreciente)

Ejemplo

  • La progresión \(1\), \(3\), \(5\), \(7\),... tiene diferencia \(d=2 >0\). Es montóna creciente.
  • La progresión \(10\), \(8\), \(6\), \(4\),... tiene diferencia \(d=-2 <0\). Es monótona decreciente.
  • La progresión \(1\), \(1\), \(1\), \(1\),... es constante.

3. Término o fórmula general

Llamamos término general a la fórmula que proporciona el término \(n\)-ésimo de la sucesión:

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Si conocemos el primer término \(a_1\) y la diferencia \(d\), podemos calcular cualquier término.

Ejemplo

La progresión de los números impares (\(1\), \(3\), \(5\), \(7\),...) tiene diferencia \(d=2\) y su primer término es \(a_1=1\), así que el término general es

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Calculamos los términos \(a_3\), \(a_5\) y \(a_9\) a partir del término general:

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4. Suma de los primeros términos

Podemos calcular la suma de los primeros \(n\) términos de una progresión aritmética mediante la fórmula

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La progresión de los números pares es

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Calculamos la suma de los \(5\) primeros términos mediante la fórmula:

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En efecto, podemos comprobar que la suma es \(30\):

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5. Problemas resueltos


Problema 1

Determinar si las siguientes progresiones son aritméticas:

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En caso afirmativo, calcular la diferencia de cada progresión.

Solución

Problema 2

Calcular los \(5\) primeros términos de la sucesión aritmética cuyo término general es

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Solución

Problema 3

El término general de una sucesión aritmética es

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¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?

Solución

Problema 4

El término general de una sucesión aritmética es

Sucesiones o progresiones aritméticas, diferencia, término general, fórmula, suma de los primeros términos. Con problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Secundaria.

¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?

Solución

Problema 5

El término general de una sucesión aritmética es

Sucesiones o progresiones aritméticas, diferencia, término general, fórmula, suma de los primeros términos. Con problemas resueltos. Matemáticas. ESO. Secundaria.

¿Cuál es la diferencia de esta sucesión?

Solución

Problema 6

El término general de una sucesión aritmética es

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¿Cuál es la suma de sus \(4\) primeros términos?

Solución

Problema 7

Calcular la diferencia y el término general de las siguientes progresiones aritméticas:

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Solución

Problema 8

Calcular la suma de los primeros \(5\) términos de las siguientes progresiones:

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Solución

Problema 9

Alberto tiene un armario con \(10\) cajones numerados del \(1\) al \(10\) y guarda \(n\) objetos en el cajón número \(n\).

Después de haber usado los \(10\) cajones, ¿cuántos objetos ha guardado Alberto en total?

Solución

Problema 10

Los primeros términos de la llamada sucesión de Fibonacci son los siguientes:

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¿Es una sucesión aritmética? En caso afirmativo, ¿cuál es la diferencia?

Solución

Problema 11

El sexto término de una sucesión aritmética es \(a_6 = 36\) y el séptimo término es \(a_7 = 42\). ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Y la diferencia?

Solución

Problema 12

El tercer término de una sucesión aritmética es \(a_3 = 14\) y el quinto término es \(a_5 = 20\). ¿Cuál es el primer término de la sucesión? ¿Y la diferencia?

Solución

Problema 13

El quinto término de una sucesión aritmética es \(a_5 = 45\) y la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión es \(S_5 = 115\). ¿Cuál es el primer término?

Solución

Problema 14

El primer término de una sucesión aritmética es \(a_1 = 3\) y la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión es \(S_5 = 25\). ¿Cuál es el quinto término?

Solución

Problema 15

El quinto término de una sucesión aritmética es \(a_5 = 0\) y su diferencia es \(d = -3\).

¿Cuál es la suma de los \(5\) primeros términos de la sucesión?

Solución


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