En esta página explicamos el concepto de inyectividad de una función y proporcionamos algunos ejemplos de funciones inyectivas y no inyectivas y problemas relacionados resueltos.
Índice:
Disponemos de dos definiciones equivalentes:
Detectar los puntos \(a \neq b\) para los cuales \(f(a) = f(b)\) (y, por tanto, hacen que la función no sea inyectiva) es sencillo observando la gráfica: si imaginamos rectas horizontales, dichos puntos son aquellos en los que la recta tiene más de una intersección con la gráfica de la función.
Gráfica de la función \(f(x) = x^3 - x \) (en azul):
En la banda de color rojo se encuentran los puntos donde falla la inyectividad de esta función, que son, en concreto,
Por ejemplo, \(x = -1\), \(x=0\) y \(x=1\) son tres números distintos de dicho intervalo que comparten imagen:
Para demostrar que una función es inyectiva, probamos que si \(f(a) = f(b)\), entonces \(a = b\) (esto es lo mismo que demostrar que si \(a\neq b\), entonces \(f(a) \neq f(b)\)).
Demostramos que la función \(f(x) = 2x+1\) es inyectiva.
Suponiendo \(f(a) = f(b)\), obtenemos \(a=b\):
Gráfica:
Demostramos que \(f(x) = x^4-2x^2\) no es inyectiva.
Tenemos que ver que si \(f(a) = f(b)\), no necesariamente \(a = b\):
Como tenemos exponentes pares, podemos usar números negativos.
Sean \(a> 0\) y \(b = -a\), entonces
Es decir, tenemos
Esto significa que la gráfica de la función es simétrica respecto del eje de ordenadas.
Además, si \(a=0\),
Y \(0\) no es sólo imagen de \(a = 0\), puesto que \(0 = x^4-2x^2\) tiene tres raíces distintas: \(x = 0\) y \(x = \pm \sqrt{2}\), así que
Gráfica:
Si una función es estrictamente creciente, ¿es inyectiva?
Sea \(y = f(x)\) una función que tiene dos raíces distintas. ¿Es una función inyectiva?
Sea la función \(f(x) = x^q\), siendo \(q\) un número natural par. ¿Es una función inyectiva?
Sea la función \(f(x) = x^q\), siendo \(q\) un número natural impar. ¿Es una función inyectiva?
ISSN 2659-9899