¿Qué es una función inyectiva?

En esta página explicamos el concepto de inyectividad de una función y proporcionamos algunos ejemplos de funciones inyectivas y no inyectivas y problemas relacionados resueltos.

Índice:

1. Concepto intuitivo de inyectividad
2. Gráfica
3. Demostrar la inyectividad
4. Problemas para pensar

1. Concepto intuitivo de inyectividad

Disponemos de dos definiciones equivalentes:

• Una función es inyectiva cuando dados \(a\neq b\), entonces \(f(a) \neq f(b)\), es decir,

• Si dos números del dominio son distintos, entonces sus imágenes son distintas.

• Una función es inyectiva si cuando \(f(a) = f(b)\), entonces \(a = b\), es decir,

• Si las imágenes de dos números son iguales, entonces dichos números son iguales.

Ejemplos

• La función \(f(x) = x^2\) no es inyectiva ya que \(f(-2) = 4 = f(2)\). Gráfica:

• La función \(f(x) = x\) es inyectiva porque \(f(a) = f(b)\) si, y sólo si, \(a = b\). Gráfica:

• La función \(f(x) = |x|\) no es inyectiva, puesto que \(f(x) = f(-x)\). Gráfica:

• La función constante \(f(x) = 3\) no es inyectiva. Gráfica:

2. Gráfica

Detectar los puntos \(a \neq b\) para los cuales \(f(a) = f(b)\) (y, por tanto, hacen que la función no sea inyectiva) es sencillo observando la gráfica: si imaginamos rectas horizontales, dichos puntos son aquellos en los que la recta tiene más de una intersección con la gráfica de la función.

Ejemplo

Gráfica de la función \(f(x) = x^3 - x \) (en azul):

En la banda de color rojo se encuentran los puntos donde falla la inyectividad de esta función, que son, en concreto,

Por ejemplo, \(x = -1\), \(x=0\) y \(x=1\) son tres números distintos de dicho intervalo que comparten imagen:

3. Demostrar la inyectividad

Para demostrar que una función es inyectiva, probamos que si \(f(a) = f(b)\), entonces \(a = b\) (esto es lo mismo que demostrar que si \(a\neq b\), entonces \(f(a) \neq f(b)\)).

Ejemplo 1

Demostramos que la función \(f(x) = 2x+1\) es inyectiva.

Suponiendo \(f(a) = f(b)\), obtenemos \(a=b\):

Gráfica:

Ejemplo 2

Demostramos que \(f(x) = x^4-2x^2\) no es inyectiva.

Tenemos que ver que si \(f(a) = f(b)\), no necesariamente \(a = b\):

Como tenemos exponentes pares, podemos usar números negativos.

Sean \(a> 0\) y \(b = -a\), entonces

Es decir, tenemos

Esto significa que la gráfica de la función es simétrica respecto del eje de ordenadas.

Además, si \(a=0\),

Y \(0\) no es sólo imagen de \(a = 0\), puesto que \(0 = x^4-2x^2\) tiene tres raíces distintas: \(x = 0\) y \(x = \pm \sqrt{2}\), así que

Gráfica:

4. Problemas para pensar

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ISSN 2659-9899