Problema 1

Encontrar dos números cuya suma sea 45 y cuya resta sea 21.

Solución (por reducción):

Los números son \(x\) e \(y\). Como deben sumar 45,

Como deben restar 21,

Luego tenemos un sistema de 2 ecuaciones:

Lo resolvemos por el método de reducción restando las ecuaciones:

Sustituimos el valor de \(y\) en la primera ecuación para calcular el valor de \(x\):

Por tanto, los números cuya suma es 45 y cuya resta es 21 son 12 y 33.

Problema 2

Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es 12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.

Solución (por sustitución):

Si \(x\) es la primera cifra e \(y\) es la segunda, entonces tenemos el sistema

Resolvemos el sistema por sustitución:

Calculamos \(x\) sustituyendo \(y\):

Por tanto, el número es 93.

Problema 3

Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la suya.

Solución (por sustitución):

Si la edad de Alberto es \(x\) y la de su padre es \(y\), sabemos que

Dentro de 15 años, la edad de Alberto será \(x+15\) y la de su padre será \(y+15\). Si para entonces la edad del padre es el doble que la de Alberto,

El sistema de ecuaciones es

Resolvemos el sistema por sustitución. Como tenemos despejada la \(y\) en la primera ecuación, sustituimos en la segunda:

Por tanto, Alberto tiene 10 años.

Problema 4

La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $39 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $31,5 por un consumo de 55 minutos.

El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. Calcular la tasa y el precio de cada minuto.

Solución (por reducción):

Si el importe de la tasa fija es \(x\) y el de un minuto de consumo es \(y\), el importe total de la primera factura se descompone como

Del mismo modo, el de la segunda factura se descompone como

El sistema de ecuaciones del problema es

Resolvemos por el método de reducción restando las ecuaciones:

Calculamos \(x\) sustituyendo el valor de \(y\) en la primera ecuación:

Por tanto, la tasa fija de mantenimiento es $15 y el precio de un minuto de consumo es $0,3.

Problema 5

La semana pasada compramos berenjenas a un precio de 2,7€/kg y patatas a un precio de 0,7€/kg pagando por ellas un total de 15,1€.

Sin embargo, esta semana hemos pagado 18€ por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de 2€ por kilo de berenjenas y 1,2€ por kilo de patatas.

Calcular la cantidad de hortalizas que se compran.

Solución (por igualación):

Si \(x\) e \(y\) son las cantidades de berenjenas y patatas, respectivamente, la compra de la semana pasada puede descomponerse como

Y la de esta semana como

El sistema del problema es

Como en ambas ecuaciones hay números con decimales, las multiplicamos por 10 para que los números sean enteros y trabajar más cómodamente:

Resolvemos el sistema por igualación despejando la \(x\) en las dos ecuaciones para igualarlas.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Igualamos las incógnitas \(x\) y resolvemos la ecuación:

Calculamos la otra incógnita usando alguna de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, las cantidades de hortalizas son 3kg de berenjenas y 10kg de patatas.

Problema 6

Hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera.

Solución (por reducción):

Si las cifras del número son \(x\), \(y\) y \(z\), tenemos el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Como tenemos la \(y\) despejada en la tercera ecuación, sustituimos en la primera:

Es decir,

En realidad, las dos primeras ecuaciones conforman un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Resolvemos el sistema por reducción restando las ecuaciones:

Por la tercera y primera ecuación podemos calcular \(x\) e \(y\):

Por tanto, el número es 263.

Problema 7

Se tiene un rectángulo cuya altura mide 2cm más que su base y cuyo perímetro es igual a 24cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.

Solución (por sustitución):

Si \(x\) es la base del rectángulo e \(y\) su altura, como la altura mide 2cm más que la base,

El perímetro del rectángulo es la suma de las longitudes de los cuatro lados (dos bases y dos alturas) y debe ser 24cm:

Tenemos el sistema de ecuaciones

Resolvemos por sustitución. Como tenemos despejada la \(y\) en la primera ecuación, sustituimos en la segunda:

Calculamos \(y\) a partir de la primera ecuación:

La base del rectángulo mide 5cm y su altura mide 7cm.

Problema 8

En un aula, la asignatura de gimnasia la han aprobado el 62,5% de las alumnas y el 80% de los alumnos, mientras que la asignatura de historia la han aprobado 87,5% de las alumnas y el 60% de los alumnos:

Calcular el número de alumnas y de alumnos que hay en el aula si el total de aprobados es 26 en gimnasia y 26 en historia.

Solución (por igualación):

Si \(x\) es el número de alumnas e \(y\) el de alumnos, los porcentajes son

Obtenemos una ecuación por cada columna:

Resolvemos el sistema por igualación. Despejamos \(x\) en la primera ecuación:

Despejamos en la segunda:

Igualamos y resolvemos:

Calculamos \(x\) a partir de alguna de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, en el aula hay 16 alumnas y 20 alumnos.

Problema 9

Letizia y Marta han ido de compras en las rebajas. La primera ha comprado unos pantalones de $42 y una camisa de $24 y, la segunda, un suéter de $28 y unos zapatos de $60.

Después de aplicar los descuentos, Letizia ha pagado $50,4 y Marta, $64,4.

Calcular los porcentajes de descuento aplicados sabiendo que el porcentaje aplicado a los pantalones y al suéter coincidían y el aplicado a la camisa y a los zapatos también.

Solución (por reducción):

Antes de resolver el problema vamos a ver un ejemplo de cómo trabajar con descuentos.

Si a un artículo de $40 se le aplica un descuento de 10%, el precio final se corresponde con el 90% del precio inicial. Es decir, el precio final sería el 90% de $40. Para calcular dicho porcentaje realizamos la siguiente operación:

El precio final del artículo sería $36.

Si \(x\) representa el porcentaje de descuento, hemos multiplicado el precio inicial por

Resolución del problema:

Si el porcentaje de descuento de los pantalones y del suéter es \(x\) y el de la camisa y el de los zapatos es \(y\), entonces, según lo que hemos dicho, tenemos el sistema de ecuaciones

Multiplicamos ambas ecuaciones por 100 para evitar los denominadores:

Seguimos operando:

Simplificamos:

Resolvemos el sisma por reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 2/3 para poder eliminar una incógnita al restar las ecuaciones:

Restamos las ecuaciones:

Calculamos \(x\) a partir de alguna de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, se han aplicado descuentos del 20% y del 30%.

Problema 10

Un avión dispone de 32 asientos en clase A y de 50 asientos en clase B cuya venta supone un total de 14.600€. Sin embargo, sólo sea han vendido 10 asientos en clase A y 40 en clase B, obteniendo un total de 7.000€.

¿Cuál es precio de un asiento en cada clase?

Solución (por igualación):

Supongamos que el precio de un asiento en clase A es \(x\) y que el precio de uno en clase B es \(y\).

El dinero que corresponde a la venta de todos los asientos en clase A es \(32\cdot x\) y el que corresponde a los en clase B es \(50\cdot y\).

Si se venden todos los asientos, la suma de los ingresos es 14.600€:

Pero sólo se han vendido 10 en clase A y 40 en clase B por un total de 7.000€,

El sistema de ecuaciones es

Resolvemos el sistema por igualación despejando una de las dos variables en ambas ecuaciones para igualarlas:

De la primera ecuación,

De la segunda ecuación,

Igualamos:

Resolvemos la ecuación:

Calculamos \(x\) sustituyendo el valor de \(y\) en una de las ecuaciones que teníamos:

Por tanto, el precio de un asiento en clase A es 300€ y el de uno en clase B es 100€.