Introducción a las progresiones

En este texto damos el concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). Se incluyen ejemplos y problemas resueltos de los conceptos vistos.

Primeras definiciones

Una progresión o sucesión matemática es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A cada uno de los números se le denomina término y se le representa por \(a_n\), siendo \(n\) la posición del término en la secuencia.

Ejemplos:

Una progresión puede ser

Problema 1

Determinar si las siguientes progresiones son finitas o infinitas y si son crecientes, decrecientes, constantes o alternadas:

  1. 0, 2, 4, 6, 8, 10,...

  2. 3, 1, -1 y -3.

  3. 1, -5, 10, -15, 20, -25,...

Solución

Problema 2

Deducir los siguientes dos términos que siguen en las siguientes sucesiones infinitas. ¿Son crecientes o decrecientes?

  1. 10, 20, 30, 40,...

  2. 1, 2, 4, 8, 16, 32,...

  3. 320, -160, 80, -40, 20,...

Solución

Término general

El término general de una sucesión es la fórmula \(a_n\) que permite conocer cada término en función de su posición \(n\).

Ejemplos:

Problema 3

Calcular los cuatro primeros términos de las siguientes progresiones a partir de sus términos generales:

  1. \(a_n = 3n -1\)

  2. \(a_n = (-1)^n \cdot n\)

  3. \(a_{n+1} = a_{n}+a_{n-1}\) siendo \(a_1 = 1\) y \(a_2 = 1\).

Solución

Progresión aritmética

Una progresión es aritmética si cada término se obtiene sumando un número constante (diferencia) al término anterior.

Ejemplos:

El término general de una progresión aritmética es

Concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). A lo largo del texto resolvemos problemas de los conceptos vistos. Secundaria, ESO.

Si la diferencia \(d\) de la progresión es un número positivo, la progresión es creciente. Si \(d\) es negativo, la progresión es decreciente.

Problema 4

Calcular los tres términos siguientes de las sucesiones sabiendo que son aritméticas con diferencia \(d = 6\):

  1. 0, 6, 12,...

  2. 5, 11, 17,...

Solución

Problema 5

¿Cuál de las siguientes progresiones no es aritmética?

  1. 23, 24, 25, 26,...

  2. 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3,...

  3. 0, 4, 16, 64,...

Solución

Problema 6

Calcular las diferencias de las siguientes progresiones aritméticas:

  1. 11, 14, 17, 20,...

  2. 1, 1.5, 2, 2.5, 3,...

  3. 10, 5, 0, -5, -10, ...

¿Cuál es el quinto y el sexto término de estas sucesiones?

Solución

Problema 7

Calcular la fórmula general de las sucesiones del problema anterior.

Solución

Progresión geométrica

Una progresión es geométrica si cada término se obtiene multiplicando un número constante (razón) por el término anterior.

Ejemplos:

El término general de una progresión geométrica es

Concepto de progresión, los tipos básicos y el término general. También, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). A lo largo del texto resolvemos problemas de los conceptos vistos. Secundaria, ESO.

Si el primer término de una progresión geométrica es positivo, entonces:

Ejemplos:

Problema 8

Calcular los dos términos siguientes de las sucesiones sabiendo que son geométricas con razón \(r = 3\):

  1. 5, 15,...

  2. -2, -6, ...

La razón es positiva, pero las sucesiones son ¿crecientes o decrecientes?

Solución

Problema 9

¿Cuál de las siguientes progresiones no es geométrica?

  1. 2, 6, 18, 54, ...

  2. 3, 9, -9, -18, ...

  3. 36, 18, 9, 4.5, ...

Solución

Problema 10

Calcular las razones de las siguientes progresiones geométricas:

  1. 4, 12, 36, ...

  2. 1, -5, 25, -125,...

  3. 8/3, 8/9, 8/27,...

Solución

Problema 11

Obtener las fórmulas generales de las progresiones geométricas del problema anterior.

Solución


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