Ecuaciones irracionales
En esta página explicamos qué es una ecuación irracional y proporcionamos varios métodos para su resolución y 10 ecuaciones resueltas.
Índice:
- ¿Qué es una ecuación irracional?
- Método de elevación
- Método de sustitución
- Más ecuaciones irracionales resueltas
Más ejemplos en ecuaciones irracionales.
1. ¿Qué es una ecuación irracional?
Una ecuación irracional (o ecuación con radicales) es una ecuación en la que la incógnita aparece en el radicando de una o más raíces.
Ejemplos
-
La siguiente ecuación tiene la única solución \(x = 4\):
-
La siguiente ecuación tiene las soluciones \(x = 0\) y \(x=-1\):
Valores admisibles
Recordad que el radicando de las raíces de orden par (raíz cuadrada, cuarta, sexta…) tiene que ser siempre no negativo. Por tanto, normalmente, las posibles soluciones pertenecen a un intervalo más pequeño que \(\mathbb{R}\).
Por ejemplo, en la siguiente ecuación, las posibles soluciones deben cumplir \(x \geq 1\):
Es importante considerar los valores admisibles antes de resolver una ecuación.
A continuación, proporcionamos dos métodos para la resolución de ecuaciones irracionales, aunque recomendamos el primero por su sencillez.
2. Método de elevación
Uno de los métodos más sencillos consiste en la elevación sucesiva de ambos lados de la ecuación. Normalmente, escogemos la potencia que hace que desaparezcan las raíces (por ejemplo, elevamos al cuadrado si hay raíces cuadradas).
Ejemplo 1
Como el radicando no puede ser negativo, debe cumplirse \(3x+1 \geq 0\). Es decir, \(x \geq -1/3\).
Como la raíz única raíz que aparece es cuadrada, elevamos ambos lados de la ecuación al cuadrado y ésta desaparece:
La solución de la ecuación obtenida es \(x=1\). Como esta solución es mayor que \(-1/3\), es la solución de la ecuación irracional.
Ejemplo 2
Los valores admisibles para la solución son \(x> 0\).
Como tenemos raíces cuadradas, elevamos al cuadrado:
Observad que tenemos el cuadrado de una suma en el lado derecho:
Operamos:
Elevamos de nuevo al cuadrado:
Como la solución obtenida es mayor que \(0\), es la solución de la ecuación irracional inicial.
Consejo
Cuando utilizamos este método (elevación), es recomendable comprobar las soluciones sustituyendo en la ecuación inicial.
3. Método de sustitución
Otra forma de resolver estas ecuaciones es sustituir algunos términos de la ecuación.
Ejemplo
No hay restricciones sobre las posibles soluciones (porque las raíces son de orden impar).
Si elevamos ambos lados a \(5\), tenemos que desarrollar la potencia quinta de una suma. Es más sencillo aplicar el siguiente cambio de variable:
Entonces,
Sustituimos en la ecuación:
Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:
Deshacemos el cambio de variable:
Elevamos a la quinta y resolvemos:
Por tanto, la solución de la ecuación irracional es \(x=-3\).
4. Más ecuaciones irracionales resueltas
Ecuación irracional 1
Ecuación irracional 2
Ecuación irracional 3
Ecuación irracional 4
Ecuación irracional 5
Ecuación irracional 6
Ecuación irracional 7
Más ejemplos en ecuaciones irracionales.