Operaciones entre números complejos
En esta página vamos a explicar cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos.
Índice de contenidos:
- Sumar y restar en forma binómica
- Multiplicar y dividir en forma binómica
- Multiplicar y dividir en forma polar
Otros temas de números complejos:
- Introducción a los números complejos
- Módulo y argumento de un complejo
- Formas binómica, polar y trigonométrica
- Calculadora de operaciones entre complejos en forma binómica
1. Sumar y restar en forma binómica
Sean \(z\) y \(w\) dos complejos dados en su forma binómica:
La suma de los complejos \(z\) y \(w\) es un número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias:
La resta es análoga, pero restando:
Problema 1
Sumar y restar los siguientes números complejos:
Solución:
Calculamos la suma \(z+w\):
Calculamos la resta \(z-w\):
2. Multiplicar y dividir en forma binómica
Sean \(z\) y \(w\) dos complejos dados en su forma binómica:
Producto:
La multiplicación de los complejos \(z\) y \(w\) se define como
Nota: para obtener la fórmula, podéis calcular el producto como si fuera un producto de binomios, teniendo en cuenta que \(i^2=-1\).
Inverso:
El inverso multiplicativo del complejo \(w=c+di\) se define como
siendo \(|w|^2\) el cuadrado del módulo de \(w\):
Cociente:
La división de los complejos \(z\) y \(w\) se define como
Nota: para obtener la fórmula, podéis calcular el producto de \(z\) por el inverso multiplicativo de \(w\).
Problema 2
Calcular el inverso multiplicativo de los siguientes complejos:
Solución:
Calculamos el módulo de \(z\) y el de \(w\):
Calculamos el inverso de \(z\):
Calculamos el inverso de \(w\):
Problema 3
Multiplicar y dividir los complejos \(z\) y \(w\) y los complejos \(z\) y \(p\):
Solución:
Multiplicamos los complejos \(z\) y \(w\):
Dividimos los complejos \(z\) y \(w\):
Multiplicamos los complejos \(z\) y \(p\):
Dividimos los complejos \(z\) y \(p\):
3. Multiplicar y dividir en forma polar
Sean los números complejos \(z\) y \(w\) dados en su forma polar:
donde \(|z|\) y \(\alpha\) son el módulo y el argumento de \(z\) y \(|w|\) y \(\beta\) son los de \(w\).
Entonces,
-
Su producto es el complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los complejos y su argumento (ángulo) es la suma de sus argumentos
-
Su cociente es el complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos de los complejos y su argumento es la resta de sus argumentos.
Dicho en fórmulas,
Si utilizamos la notación de Euler:
Entonces,
Problema 4
Multiplicar y dividir los complejos \(z\) y \(w\) y los complejos \(z\) y \(p\):
Solución:
Calculamos el producto \(z·w\):
Calculamos el cociente \(z/w\):
Calculamos el producto \(z·p\):
Calculamos el cociente \(z/p\):
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