Módulo y argumento de los números complejos

En esta página vamos a definir el módulo, el argumento y el conjugado de un complejo y a enunciar sus propiedades básicas.

Índice de contenidos:

Módulo y argumento
Interpretación geométrica
Conjugado
Propiedades básicas

Otros temas de números complejos:

1. Módulo y argumento

Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\),

Se define el módulo de \(z\) como

Definición de módulo, argumento y conjugado de los números complejos, con interpretación geométrica y ejemplos. Enunciamos las propiedades básicas del conjugado y del módulo (de la suma, del producto, del cociente, etc.). Matemáticas. Números complejos. Secundaria. Bachillerato. Universidad.

Se define el argumento de \(z\) como

Nota 1: la función arcotangente proporciona el ángulo entre -45º y 45º.

Nota 2: observad que, por ejemplo, la función arcotangente proporciona el mismo ángulo para \(z = a-bi\) y para \(w = -a+bi\). Sin embargo, \(z\) y \(w\) están en cuadrantes distintos, así que su argumento es distinto. Para solucionar esto:

Si el complejo está en el segundo cuadrante (\(a<0\), \(b>0\)), hay que sumar 180º al ángulo obtenido.
Si el complejo está en el tercer cuadrante (\(a<0\), \(b<0\)), hay que restar 180º al ángulo obtenido.

Nota 3: si \(a=0\), el argumento es

0° (0 radianes) si \(b=0\)
90° (\(\pi /2\) radianes) si \(b> 0\)
270° (\(3\pi /2\) radianes) si \(b< 0\)

Además, se denomina argumento principal de \(z\), \(Arg(z)\), al argumento de \(z\) en el intervalo \(\left]-180^\circ , 180^\circ \right]\) o, si es en radianes, \(\left]-\pi , \pi \right]\).

2. Interpretación geométrica

Si representamos el complejo \(z = a+bi\) en el plano complejo, su longitud es su módulo y el ángulo que forma con la parte positiva del eje horizontal es su argumento:

Problema 1

Calcular el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:

Solución:

Calculamos el módulo de \(z=3+5i\):

Calculamos el argumento de \(z\):

Calculamos el módulo de \(w=1/3-i/3\):

Calculamos el argumento de \(w\):

El ángulo de -45° es equivalente al ángulo de 270°.

Calculamos el módulo de \(q=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\):

Calculamos el argumento de \(q\):

Hemos sumado 180º porque el complejo está en el segundo cuadrante.

3. Conjugado

Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\), se define su conjugado como

Interpretación geométrica

Si representamos un complejo y su conjugado, son simétricos respecto del eje horizontal:

Tened en cuenta que la longitud de los vectores es la misma (tienen el mismo módulo) y los argumentos son iguales porque la arcotangente es una función impar: