Módulo y argumento de los números complejos

En esta página vamos a definir el módulo, el argumento y el conjugado de un complejo y a enunciar sus propiedades básicas.

Índice de contenidos:

  1. Módulo y argumento
  2. Interpretación geométrica
  3. Conjugado
  4. Propiedades básicas

Otros temas de números complejos:


1. Módulo y argumento

Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\),

Se define el módulo de \(z\) como

Definición de módulo,  argumento y conjugado de los números complejos, con interpretación geométrica y ejemplos. Enunciamos las propiedades básicas del conjugado y del módulo (de la suma, del producto, del cociente, etc.). Matemáticas. Números complejos. Secundaria. Bachillerato. Universidad.

Se define el argumento de \(z\) como

Definición de módulo,  argumento y conjugado de los números complejos, con interpretación geométrica y ejemplos. Enunciamos las propiedades básicas del conjugado y del módulo (de la suma, del producto, del cociente, etc.). Matemáticas. Números complejos. Secundaria. Bachillerato. Universidad.

Nota 1: la función arcotangente proporciona el ángulo entre -45º y 45º.

Nota 2: obsevad que, por ejemplo, la función arcotangente proporciona el mismo ángulo para \(z = a-bi\) y para \(w = -a+bi\). Sin embargo, \(z\) y \(w\) están en cuadrantes distintos, así que su argumento es distinto. Para solucionar esto:

Nota 3: si \(a=0\), el argumento es

Además, se denomina argumento principal de \(z\), \(Arg(z)\), al argumento de \(z\) en el intervalo \(\left]-180^\circ , 180^\circ \right]\) o, si es en radianes, \(\left]-\pi , \pi \right]\).

2. Interpretación geométrica

Si representamos el complejo \(z = a+bi\) en el plano complejo, su longitud es su módulo y el ángulo que forma con la parte positiva del eje horizontal es su argumento:

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Problema 1

Calcular el módulo y el argumento de los siguientes números complejos:

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Solución

3. Conjugado


Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\), se define su conjugado como

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Interpretación geométrica

Si representamos un complejo y su conjugado, son simétricos respecto del eje horizontal:

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Tened en cuenta que la longitud de los vectores es la misma (tienen el mismo módulo) y los argumentos son iguales porque la arcotangente es una función impar:

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Problema 2

Calcular el complejo conjugado de los siguientes números complejos:

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Solución

4. Propiedades

Omitimos las demostraciones de las propiedades porque son muy sencillas, pero podéis encontrarlas en propiedades de los complejos.



Propiedad 1

Conjugado del conjugado:

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Propiedad 2

Conjugado de la suma:

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Propiedad 3

Conjugado del producto de complejos:

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Propiedad 4

Producto de un complejo por su conjugado:

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Propiedad 5

Conjugado del cociente de complejos:

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Propiedad 6

Suma de un complejo con su conjugado:

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Propiedad 7

Resta de un complejo con su conjugado:

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Propiedad 8

El módulo es no negativo:

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Propiedad 9

Módulo del conjugado:

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Propiedad 10

Módulo del producto de complejos:

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Propiedad 11

Módulo del inverso de un complejo:

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Propiedad 12

Módulo de la división de dos complejos:

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Propiedad 13

Módulo de la suma de complejos:

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