En esta página vamos a definir el módulo, el argumento y el conjugado de un complejo y a enunciar sus propiedades básicas.
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Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\),
Se define el módulo de \(z\) como
Se define el argumento de \(z\) como
Nota 1: la función arcotangente proporciona el ángulo entre -45º y 45º.
Nota 2: observad que, por ejemplo, la función arcotangente proporciona el mismo ángulo para \(z = a-bi\) y para \(w = -a+bi\). Sin embargo, \(z\) y \(w\) están en cuadrantes distintos, así que su argumento es distinto. Para solucionar esto:
Si el complejo está en el segundo cuadrante (\(a<0\), \(b>0\)), hay que sumar 180º al ángulo obtenido.
Si el complejo está en el tercer cuadrante (\(a<0\), \(b<0\)), hay que restar 180º al ángulo obtenido.
Nota 3: si \(a=0\), el argumento es
Además, se denomina argumento principal de \(z\), \(Arg(z)\), al argumento de \(z\) en el intervalo \(\left]-180^\circ , 180^\circ \right]\) o, si es en radianes, \(\left]-\pi , \pi \right]\).
Si representamos el complejo \(z = a+bi\) en el plano complejo, su longitud es su módulo y el ángulo que forma con la parte positiva del eje horizontal es su argumento:
Calculamos el módulo de \(z=3+5i\):
Calculamos el argumento de \(z\):
Calculamos el módulo de \(w=1/3-i/3\):
Calculamos el argumento de \(w\):
El ángulo de -45° es equivalente al ángulo de 270°.
Calculamos el módulo de \(q=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\):
Calculamos el argumento de \(q\):
Hemos sumado 180º porque el complejo está en el segundo cuadrante.
Dado un número complejo en su forma binómica \(z = a+bi\), se define su conjugado como
Si representamos un complejo y su conjugado, son simétricos respecto del eje horizontal:
Tened en cuenta que la longitud de los vectores es la misma (tienen el mismo módulo) y los argumentos son iguales porque la arcotangente es una función impar:
Sólo tenemos que cambiar el signo de la parte imaginaria (si la hay):
El conjugado de \(z=1+2i\) es
El conjugado de \(w=-3i\) es
El conjugado de \(q=5\) es
El conjugado de \(-z=-1-2i\) es
Omitimos las demostraciones de las propiedades porque son muy sencillas, pero podéis encontrarlas en propiedades de los complejos.
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