Formas binómica, trigonométrica y polar de los números complejos

En esta página vamos a ver las principales representaciones de los números complejos (binómica, trigonométrica y polar) y cómo pasar de una a otra. A lo largo de la página, proponemos y resolvemos 7 problemas.

Nota: escribiremos todos los ángulos en grados, pero también puede hacerse en radianes.

Índice de contenidos:

  1. Introducción
  2. Forma binómica
  3. Forma trigonométrica
  4. Forma polar

Otros temas de números complejos:


1. Introducción

Normalmente, los complejos se definen en su forma binómica \(z=a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales llamados parte real y parte imaginaria, respectivamente, del complejo \(z\).

No obstante, existen otras formas de representar a un número complejo. Estas otras formas son la polar y la trigonométrica. En esta página vamos a ver las tres formas de representar complejos y cómo pasar de una a otra.

Por ejemplo, tres formas distintas de representar un mismo número complejo \(z\):

Cada una de las formas presenta sus ventajas y sus inconvenientes. Por ejemplo, multiplicar y dividir complejos es más rápido en forma polar, pero sumar y restar es más fácil en la forma binómica.



2. Forma binómica

Como ya hemos dicho, en la forma binómica, un complejo \(z\) se escribe como la suma de un número real \(a\) y un número real \(b\) multiplicado por la unidad imaginaria \(i\):

Formas binómica, trigonométrica y polar de los números complejos o imaginarios. Con ejemplos, problemas resueltos y representaciones. Secundaria, Bachillerato y Universidad.

El número \(a\) es la parte real de \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\).

Problema 1

¿Cuál es la parte real y la imaginaria de los siguientes complejos?

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Solución

3. Forma trigonométrica

La forma trigonométrica del complejo \(z=a+bi\) es

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Importante

El ángulo que proporciona la función arcotangente es siempre entre -45° y 45°.

Si el complejo pertenece el primer cuadrante (\(a> 0\), \(b>0\)) o al cuarto (\(a> 0\), \(b<0\)), el ángulo obtenido es el argumento del complejo.

Sin embargo, si el complejo está en el segundo cuadrante (\(a<0\), \(b>0\)), hay que sumarle 180°. Y si está en el tercer cuadrante, (\(a<0\), \(b<0\)), hay que restarle 180°.

Hay una función proporciona directamente el argumento: \(atan2(a,b)\).



Veamos el significado de \(|z|\) y \(\alpha \) que aparecen en la forma trigonométrica (y en la polar):

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Problema 2

Escribir los siguientes complejos en forma trigonométrica:

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Solución

Problema 3

Representar y escribir en forma trigonométrica los complejos \(z=-i\) y \(w=2\).

Solución

Cuando tenemos un complejo escrito en forma trigonométrica, ya lo tenemos casi en forma binómica. Falta calcular el seno y el coseno del argumento y multiplicar por el módulo.

Problema 4

Escribir los siguientes complejos en forma binómica:

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Solución

4. Forma polar

En la forma polar, el complejo se escribe en función de su módulo \(|z|\) y su argumento \(\alpha \) como

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También, como

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E, incluso, como

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Por ejemplo, el complejo \(z=1+i\) en forma polar es

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La forma polar es útil a la hora de multiplicar y dividir complejos y también para visualizarlos en el plano complejo.

El cambio de la forma polar a la forma trigonométrica se realiza utilizando la siguiente identidad (llamada fórmula de Euler):

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Problema 5

Escribir los siguientes complejos en forma polar:

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Solución

Problema 6

Escribir los siguientes complejos en forma trigonométrica:

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Solución

Problema 7

Escribir los siguientes complejos en forma binómica:

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Solución


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