Formas binómica, trigonométrica y polar de los números complejos
En esta página vamos a ver las principales representaciones de los números complejos (binómica, trigonométrica y polar) y cómo pasar de una a otra. A lo largo de la página, proponemos y resolvemos 7 problemas.
Nota: escribiremos todos los ángulos en grados, pero también puede hacerse en radianes.
Índice de contenidos:
- Introducción
- Forma binómica
- Forma trigonométrica
- Forma polar
Otros temas de números complejos:
- Introducción a los números complejos
- Módulo y argumento de un complejo
- Operaciones entre números complejos
- Calculadora de operaciones entre complejos en forma binómica
1. Introducción
Normalmente, los complejos se definen en su forma binómica \(z=a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales llamados parte real y parte imaginaria, respectivamente, del complejo \(z\).
No obstante, existen otras formas de representar a un número complejo. Estas otras formas son la polar y la trigonométrica. En esta página vamos a ver las tres formas de representar complejos y cómo pasar de una a otra.
Por ejemplo, tres formas distintas de representar un mismo número complejo \(z\):
- \(z = 3\sqrt{2}·e^{i·135^\circ}\) (forma polar)
- \(z = -3+3i\) (forma binómica)
- \(z = 3\sqrt{2}·(cos(135^\circ )+i·sin(135^\circ )) \) (forma trigonométrica)
Cada una de las formas presenta sus ventajas y sus inconvenientes. Por ejemplo, multiplicar y dividir complejos es más rápido en forma polar, pero sumar y restar es más fácil en la forma binómica.
2. Forma binómica
Como ya hemos dicho, en la forma binómica, un complejo \(z\) se escribe como la suma de un número real \(a\) y un número real \(b\) multiplicado por la unidad imaginaria \(i\):
El número \(a\) es la parte real de \(z\) y \(b\) es la parte imaginaria de \(z\).
Problema 1
¿Cuál es la parte real y la imaginaria de los siguientes complejos?
3. Forma trigonométrica
La forma trigonométrica del complejo \(z=a+bi\) es
Importante
El ángulo que proporciona la función arcotangente es siempre entre -45° y 45°.
Si el complejo pertenece el primer cuadrante (\(a> 0\), \(b>0\)) o al cuarto (\(a> 0\), \(b<0\)), el ángulo obtenido es el argumento del complejo.
Sin embargo, si el complejo está en el segundo cuadrante (\(a<0\), \(b>0\)), hay que sumarle 180°. Y si está en el tercer cuadrante, (\(a<0\), \(b<0\)), hay que restarle 180°.
Hay una función proporciona directamente el argumento: \(atan2(a,b)\).
Veamos el significado de \(|z|\) y \(\alpha \) que aparecen en la forma trigonométrica (y en la polar):
Problema 2
Escribir los siguientes complejos en forma trigonométrica:
Problema 3
Representar y escribir en forma trigonométrica los complejos \(z=-i\) y \(w=2\).
Cuando tenemos un complejo escrito en forma trigonométrica, ya lo tenemos casi en forma binómica. Falta calcular el seno y el coseno del argumento y multiplicar por el módulo.
Problema 4
Escribir los siguientes complejos en forma binómica:
4. Forma polar
En la forma polar, el complejo se escribe en función de su módulo \(|z|\) y su argumento \(\alpha \) como
También, como
E, incluso, como
Por ejemplo, el complejo \(z=1+i\) en forma polar es
La forma polar es útil a la hora de multiplicar y dividir complejos y también para visualizarlos en el plano complejo.
El cambio de la forma polar a la forma trigonométrica se realiza utilizando la siguiente identidad (llamada fórmula de Euler):
Problema 5
Escribir los siguientes complejos en forma polar:
Problema 6
Escribir los siguientes complejos en forma trigonométrica:
Problema 7
Escribir los siguientes complejos en forma binómica:
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