Topología cofinita
En esta página definimos la topología cofinita y demostramos algunas propiedades de los espacios cofinitos.
Índice:
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Definición
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Ejemplo
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Propiedades
1. Definición
Dado un conjunto \(X\neq \emptyset\), se define la topología cofinita (o topología de los complementos finitos) sobre \(X\) como
$$ \mathcal{T}_{cof} = \{A\subseteq X : X\setminus A \text{ es finito ó }A=\emptyset\} $$
Es decir, en un espacio topológico cofinito, los conjuntos abiertos son los conjuntos cuyo complemento (o complementario) es finito y, por tanto, los conjuntos finitos son cerrados.
Aunque veremos algunas propiedades de esta topología cuando \(X\) es finito, la topología cofinita es más interesante cuando \(X\) es un conjunto infinito. Por ejemplo, en este caso, se trata de un espacio topológico que no es de Hausdorff.
2. Ejemplo
Consideremos la topología cofinita sobre \(X = \mathbb{R}\).
Dado un punto \(x\in \mathbb{R}\), como \(\{x\}\) es finito, su complementario \(B = \mathbb{R}\setminus \{x\}\) es abierto. Como consecuencia, \(\{x\}\) es cerrado.
Observad que \(B\) es también abierto en la topología usual sobre \(\mathbb{R}\) (por ser unión de dos intervalos abiertos). Mas concretamente, más adelante demostramos que los conjuntos abiertos en la cofinita lo son en la topología usual (la topología usual es más fina que la cofinita), pero no todos los abiertos de la usual lo son en la cofinita. Por ejemplo, los intervalos abiertos \((a,b)\) son abiertos en la topología usual, pero no lo son en la cofinita ya que su complementario no es finito:
$$ \mathbb{R}\setminus(a,b) = (-\infty, a]\cup [b, +\infty ) $$
3. Propiedades
A continuación, demostramos algunas propiedades de la topología cofinita.
Propiedad 1
Si \(X\) es finito, la topología cofinita es la topología discreta. En este caso, un conjunto es abierto si, y sólo si, es cerrado.
Demostración
Si \(X\) es finito, todo subconjunto \(\emptyset \neq A\subseteq X\) es finito y su complementario \(B = X-A\) es finito. Como consecuencia, \(A\) es abierto (por ser \(B\) finito) y es cerrado (por ser \(B\) abierto).
Esto significa que la topología es el conjunto potencia, así que se trata de la topología discreta.
Propiedad 2
Sobre el plano real, la topología cofinita es menos fina que la usual, es decir, \(\mathcal{T}_{cof}\subseteq \mathcal{T}_u\).
Demostración
Sea \(A\neq \emptyset \) un abierto en la topología cofinita. Entonces, \(B = X\setminus A\) es un conjunto finito. Como los conjuntos finitos son cerrados en la topología usual, \(B\) es cerrado y, por tanto, \(A\) es abierto en la topología usual.
Propiedad 3
Un subconjunto \(A\subseteq X\) es cerrado si, y sólo si, \(A=X\), \(A\) es finito ó \(A=\emptyset\).
Demostración
Si \(A\neq \emptyset , X\) y es cerrado, es porque \(B = X\setminus A\) es abierto y, por definición de abierto, su complementario \(X\setminus B = A\) es finito.
Si \(A = X\), es cerrado porque el vacío es abierto.
Si \(A = \emptyset\), es cerrado por ser el complementario de \(X\).
Si \(A\) es finito, su complementario \(X\setminus A\) es abierto. Por tanto, \(A\) es cerrado.
Propiedad 4
Si \(x\in U\subseteq X\), entonces \(U\) es un entorno de \(x\) si, y sólo si, \(X\setminus U\) es finito.
Demostración
Sea \(x\in U\subseteq X\).
Si \(U\) es un entorno de \(x\), existe un abierto \(A\) tal que \(x \in A \subseteq U\). Como \(A\subseteq U\), se tiene \(X\setminus U \subseteq X\setminus A\).
Como \(A\) es abierto, \(X\setminus A\) es finito y, por tanto, su subconjunto \(X\setminus U\) es también finito.
Si \(X\setminus U\) es finito, entonces \(U\) es abierto. Como consecuencia, \(U\) es entorno de todos sus puntos.
Propiedad 5
\(X\) es \(T_1\). Como consecuencia, es \(T_0\).
Demostración
Un espacio es \(T_1\) si, y sólo si, todo punto es cerrado (demostración en espacio de Fréchet).
Como todo punto de \(X\) es cerrado (por ser finito), el espacio es \(T_1\).
Como \(T_1\) implica \(T_0\), también es \(T_0\).
Propiedad 6
Si \(X\) es infinito, no es de Hausdorff. Como consecuencia, tampoco es \(T_3\).
Demostración
Supongamos que dados dos puntos distintos \(x,y\in X\) existen dos abiertos \(A\) y \(B\) no vacíos y disjuntos tales que \(x\in A\) e \(y \in B\).
Por un lado, como \(B\) es abierto, \(X\setminus B\) es finito. Como \(A\) y \(B\) son disjuntos, \(A \subseteq X\setminus B\). Por tanto, \(A\) es finito.
Por otro lado, como \(A\) es abierto, \(X\setminus A\) es finito.
Entonces, tenemos que \(X\) es finito ya que \(X = A \cup (X\setminus A)\), lo cual contradice que \(X\) sea infinito.
Como \(T_3\) implica \(T_2\), el espacio no es \(T_3\).
Propiedad 7
\(X\) es compacto. Como consecuencia, también es de Lindelöf.
Demostración
Sea \(\mathcal{A}\) un recubrimiento abierto de \(X\). Sea \(A\in \mathcal{A}\) uno de los abiertos del recubrimiento. Su complementario, \(B = X\setminus A\) es finito.
Como \(\mathcal{A}\) es un recubrimiento, para cada \(x\in B\) existe un abierto \(A_x\in \mathcal{A}\) tal que \(x \in A_x\).
La familia \(\{A\}\cup \{A_x : x\in X\setminus A\}\) es un subrecubrimiento finito de \(\mathcal{A}\).
Ser de Lindelöf es una consecuencia de ser compacto.